Родился 24 декабря 1916 года на хуторе Золотарёвка (ныне Семикаракорского района Ростовской области). В 1929 году семья переехала в станицу Константиновскую. Там окончил 9 классов и тракторно-механическую школу. После переезда семьи в город Астрахань (ныне административный центр Астраханской области) устроился в судоремонтные мастерские. Вскоре сдал экзамены на моториста баркаса и перешёл работать на Чапаевский рыбный промысел, а потом механиком баркаса в ОСВОД - Общество содействия развитию водного транспорта и охраны жизни людей на водных путях. Весной 1936 года был выдвинут на должность начальника городской спасательной станции ОСВОДа. Поступил на курсы водолазов. С февраля 1937 года учился в Астраханском аэроклубе. В феврале 1938 года был направлен в Сталинградский городской ОСВОД на должность старшего водолаза. Проработал там недолго - политотдел речников направляет его на работу в Сталинградский порт. С мая 1940 года в рядах Красной Армии, призван Сталинградским ГВК. В октябре 1940 года окончил Сталинградское военное авиационное училище лётчиков. Служил младшим лётчиком в 158-м ИАП ВВС Ленинградского военного округа (аэродром Кресты, в городе Пскове), в мае 1941 года окончил курсы командиров звеньев.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант С. И. Здоровцев в действующей армии: в должности командира звена 158-го ИАП (39-я ИАД, ВВС Северного фронта), летал на И-16. Защищал воздушные подходы к Ленинграду (ныне Санкт-Петербург) в районе Пскова.

28 июня 1941 года группа наших истребителей патрулировала над городом Остров (ныне административный центр Островского района Псковской области). Вскоре в небе появились 10 немецких бомбардировщиков Ю-88 в сопровождении истребителей Ме-109. Наши истребители вступили в бой и не допустили вражеских бомбардировщиков к городу. В этом воздушном бою Степан Здоровцев полностью израсходовал боеприпасы. На обратном пути к своему аэродрому он встретил вражеский бомбардировщик Ю-88, не имея боеприпасов, решил таранить его. Здоровцев подошёл снизу под хвост бомбардировщика и срубил винтом хвостовое оперенье "Юнкерса". Ему удалось удержать в полёте свой повреждённый И-16, а "Юнкерс" упал на землю. Выбросившихся с парашютом немецких лётчиков взяла в плен наша пехота. Здоровцев благополучно приземлился на незначительно повреждённом самолёте. За этот бой Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 июля 1941 года был удостоен звания Героя Советского Союза.

9 июля 1941 года младший лейтенант С. И. Здоровцев вылетел на разведку недавно оставленного аэродрома. В его задание входила только разведка, но, оказавшись над знакомым аэродромом, лётчик не смог сдержаться и нанес по стоявшим на стоянках вражеским самолётам штурмовой удар. По дороге назад его догнали немецкие истребители и навязали бой. Силы оказались слишком неравными... К тому времени на его боевом счету числилось 3 лично сбитых самолёта противника.

Похоронен в братской могиле в городе Псков (ныне административный центр Псковской области). Именем Героя был назван пассажирский теплоход, в Астрахани, и Волгограде - улицы. В 1975 году именем Героя названа улица в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). В Астрахани установлен памятник Герою. Также его носят школы во многих населённых пунктах страны. Приказом Министра Обороны СССР навечно зачислен в списки воинской части.

Награждён орденом Ленина (08.07.1941).