Родился 18 октября 1918 года в селе Кутьма (ныне Щёкинского района Тульской области). Окончил 7 классов средней школы. Вскоре вместе с родителями переехал в город Тулу (ныне административный центр Тульской области). Работал в лаборатории по ремонту электросчётчиков. Одновременно учился в аэроклубе, как лучший пилот был награждён именными часами. Затем работал в аэроклубе инструктором, на общественных началах. Со 2 сентября 1937 года в рядах Красной Армии, призван Привокзальным РВК (города Тулы). По комсомольской путёвке поступил в Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в феврале 1940 года. Служил в строевых частях ВВС. Киевского Особого военного округа.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант Д. А. Зайцев в действующей армии: в должности командира звена 2-го ИАП (36-я ИАД, ВВС Юго-Западного фронта), летал на И-16. Во время боёв за город Киев (ныне столица Украины) звено Д. А. Зайцева уничтожило 12 вражеских самолётов, из них 1 он сбил лично.

4 июля 1941 года командир звена 2-го истребительного авиационного полка (36-я истребительная авиационная дивизия, Киевская зона ПВО) младший лейтенант Д. А. Зайцев вылетел на перехват воздушного разведчика Ю-88, идущего в направлении города Киева. В районе Гостомеля обнаружил противника на высоте 2000 метров и атаковал его. Заметив преследование, "Юнкерс" попытался уйти в сторону линии фронта. Непрерывно атакуя его, Зайцев израсходовал все боеприпасы, но разведчик продолжал лететь. Тогда Зайцев принял решение таранить. Точно рассчитав удар, он винтом отрубил хвостовое оперение самолёта противника. Тот потерял управление и рухнул на землю. Двое членов экипажа "Юнкерса" приземлились на парашютах и были взяты в плен, ещё двое погибли. После тарана у И-16 заглох мотор, козырёк кабины был разбит, правое крыло сильно повреждено, но рули повиновались. Высота была свыше 4000 метров Зайцев спланировал и благополучно посадил самолёт с убранными шасси на ржаное поле. За данный бой Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 августа 1941 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 356).

А воздушные бои на подступах к Киеву продолжались. В жарких схватках Д. А. Зайцев со своими товарищами сбили ещё несколько вражеских машин. В его боевой характеристике появилась такая запись: "Лётную работу любит, летает смело, в воздушном бою ведёт себя уверенно. Кроме 5 сбитых самолётов противника с 22 июня по 5 сентября 1941 года на Юго-Западном фронте, при обороне города Киева и Киевского направления, звеном Зайцева и им лично совершено 28 сопровождений бомбардировщиков и штурмовиков, 8 разведок войск противника, проведено 23 воздушных боя, 25 штурмов скопления колонн противника, в том числе 2 штурмовки аэродромов противника, при которых уничтожено 11 вражеских самолётов".

В сентябре 1941 года лейтенант Д. А. Зайцев был переведён на должность командира эскадрильи в 423-й ИАП, где вёл боевую работу на Резервном фронте (в составе 38-й ИАД, ВВС 24-й Армии), летал на Як-1. С 29 сентября 1941 года полк проходил переформирование в 13-м ЗИАП Приволжского военного округа (город Кузнецк, Пензенской области). С 11 ноября 1941 года полк был передан в состав ПВО и приступил к боевой работе в составе 142-й ИАД ПВО (Горьковского района ПВО). В августе 1942 года капитан Д. А. Зайцев был назначен командиром полка. Летал на Як-1 и именном ЛаГГ-3.

С ноября 1942 года служил уже в Управлении 142-й ИАД ПВО. Участвовал в отражении массированных налетов немецкой авиации на город Горький (ныне Нижний Новгород, административный центр Нижегородской области). С 29 июня 1943 года 142-я ИАД ПВО вошла в состав войск вновь образованного Восточного фронта ПВО, а с 31 октября 1943 года исключена из действующей армии.

С августа 1944 года майор Д. А. Зайцев служил в Управлении ВВС Северного фронта ПВО, летал на разных типах самолётов, в том числе на Ла-5ФН.

1 октября 1944 года инспектор-лётчик по технике пилотирования Отдела боевой подготовки ВВС Северного Флота ПВО майор Д. А. Зайцев погиб в авиационной катастрофе (согласно некоторых источников, во время ночных полётов был ослеплён прожектором над аэродромом и разбился при заходе на посадку). Всего совершил 130 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 1 и в составе группы 11 самолётов противника.

Похоронен в Туле, на Всехсвятском кладбище. Имя Героя увековечено в мемориале в городе Тула. Его именем названа улица в городе Щёкино, на которой установлена мемориальная доска.

Награждён орденом Ленина (02.08.1941).