Родился 2 апреля 1922 года в городе Ставрополе (ныне административный центр Ставропольского края). В 1938 году окончил 8 классов средней школы № 3, в 1939 году - городской аэроклуб. С 1940 года в Военно-Морском Флоте. В июне 1941 года окончил Ейское военно-морское авиационное училище и был оставлен в нём лётчиком-инструктором.

С декабря 1941 года сержант Л. И. Севрюков в действующей армии. Воевал в 7-м ИАП Черноморского Флота. Летал на МиГ-3 и ЛаГГ-3.

28 апреля 1942 года лётчик 7-го истребительного авиационного полка (62-я истребительная авиационная бригада, ВВС Черноморского Флота) сержант Л. И. Севрюков во второй половине дня вылетел в составе полка отражать налёт немецких самолётов на Новороссийск. Наши лётчики встретили врага в 25 километрах от города. Завязался ожесточённый бой. Л. И. Севрюков атаковал группу из 8 Ю-88 и открыл огонь. Ему удалось повредить один из них, но вскоре у него закончились боеприпасы. Тогда он направил свой ЛаГГ-3 на один из "Юнкерсов" и отрубил ему хвост. Вражеский самолёт упал, но погиб и наш лётчик. Всего совершил 151 боевой вылет, в воздушных боях сбил лично 3 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1942 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза. Похоронен в братской могиле советских воинов на городском кладбище Новороссийска.

Навечно зачислен в списки воинской части. В городе Ставрополе установлен бюст Героя, его именем названа улица. В 2003 году на здании филиала негосударственной гимназии № 1 города Новороссийска, в память о Л. И. Севрюкове, установлена мемориальная доска. Имя Героя - на Доске памяти в Музее Черноморского флота в Севастополе. Рыболовный морозильный траулер Азово-Черноморского бассейна назван "Леонид Севрюков".

Награждён орденом Ленина (22.10.1942).