Родился 12 апреля 1916 года в селе Николаевка (ныне Новомосковский район Днепропетровской области Украины). В 1931 году окончил 7 классов средней школы. Жил в городе Кривой Рог. Работал на заводе имени Карла Либкнехта. Одновременно учился в городском аэроклубе. С 6 декабря 1939 года в рядах Красной Армии. В декабре 1940 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов. Служил младшим лётчиком в 166-м РЕЗАП (ВВС Московского военного округа), затем в 306-м ИАП (ВВС Дальневосточного фронта). После переучивания во 2-м ЗИАП (ВВС Московского военного округа), отправлен в 19-й Гвардейский ИАП.

С 7 мая 1942 года младший лейтенант Е. А. Кривошеев в действующей армии. Воевал в составе 19-го Гвардейского ИАП (ВВС Карельского фронта), где прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Летал на "Аэрокобре".

9 сентября 1942 года командир звена 19-го Гвардейского истребительного авиационного полка (1-я смешанная авиационная дивизия, ВВС 14-й Армии, Карельский фронт), Гвардии лейтенант Е. А. Кривошеев вылетел в составе 11 самолётов на отражение налёта большой группы бомбардировщиков и истребителей противника на Мурманск. В ходе боя заметил, как в хвост нашего самолёта заходит Me-109. Находясь выше противника, он устремился на выручку товарищу и ударил Ме-109 нижней частью корпуса своей машины. Оба самолёта разрушились, лётчики погибли. Первоначально Е. А. Кривошеев был похоронен на кладбище станции Шонгуй (Кольский район Мурманской области), позже перезахоронен в братской могиле в посёлке Шонгуй. Всего совершил 96 боевых вылетов, в 29 воздушных боях сбил лично 4 и в составе группы 12 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 5 личных и 20 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1943 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Именем Героя названы улица в городе Кола (Мурманская область). Имя Е. А. Кривошеев носил большой морозильный рыболовный траулер Мурманского тралового флота Министерства рыбного хозяйства СССР. Приказом Министра обороны СССР Гвардии лейтенант Е. А. Кривошеев навечно зачислен в списки личного состава воинской части. В городе Новомосковске установлен памятный знак Героям-землякам, в том числе и Е. А. Кривошееву. В его родном селе Николаевка установлен бюст Героя.

Награждён орденами: Ленина (22.02.1943, посмертно), Красного Знамени (19.08.1942).