Родился 14 сентября 1917 года в городе Воронеже (ныне административный центр Воронежской области). в 1932 году окончил 7 классов средней школы, в 1933 году - школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал мотористом на авиационном заводе в Воронеже. Без отрыва от производства обучался в аэроклубе, который окончил в 1936 году. С 22 апреля 1937 года в рядах Красной Армии, призван Воронежским ГВК. 15 декабря 1937 года окончил 2-ю Краснознамённую военную школу пилотов (город Борисоглебск). Служил пилотом в 57-й ИАЭ, с 13 февраля 1938 года - в 56-й ИАЭ, с 15 апреля 1938 года - 10-й ОИАЭ (ВВС Белорусского Особого военного округа). С 31 сентября 1938 года - младший лётчик 10-й ОИАЭ. 31 октября 1938 года присвоено воинское звание "лейтенант". 28 декабря 1939 года назначен командиром звена, а 21 июля 1940 года - штурманом эскадрильи 42-го ИАП (ВВС Калининского военного округа).

С 22 июня 1941 года лейтенант А. И. Кольцов в действующей армии: в составе 42-го ИАП (ВВС Северо-Западного фронта), летая на И-153. Участвовал в боях по прикрытию аэродромов Ораны, Двинск, Полоцк, Идрица и прилегающих к ним стратегических железных дорог и пунктов. На аэродроме "Бецкое" (Полоцк) в свободное от дежурства время, вместо отдыха отражал воздушные налёты самолётов противника с земли - лично ведя огонь из зенитной установки. 29 июня 1941 года, при ведении воздушной разведки, встретил звено Ме-109. Вёл бой до полного израсходования горючего, после чего совершил вынужденную посадку, получил сильные ушибы в области позвоночника и был отправлен в госпиталь (к тому времени совершил 16 боевых вылетов). Затем продолжил боевую работу. 23 марта 1942 года присвоено воинское звание "старший лейтенант". С 4 июня по сентябрь 1942 года воевал в должности заместителя командира эскадрильи 297-го ИАП (ВВС Юго-Западного и Сталинградского фронтов), летал на ЛаГГ-3 и Ла-5. Затем был командиром эскадрильи в 240-м ИАП (возможно, боевой работы не вёл), 11 февраля 1943 года присвоено воинское звание "капитан". 5 июня 1943 года назначен командиром 937-го ИАП (ВВС Брянского и Калининского фронтов), где продолжал летать на Ла-5. 8 июня 1943 года присвоено воинское звание "майор".

К середине августа 1943 года командир 937-го Краснознамённого истребительного авиационного полка (322-я истребительная авиационная дивизия, 15-я Воздушная армия, Брянский фронт) майор А. И. Кольцов совершил 222 боевых вылета. Согласно информации из наградного листа, в 60 воздушных боях сбил лично 10 самолётов противника: 5 бомбардировщиков и 5 истребителей (эти данные не подтверждаются штабными документами частей и соединений). Имел ранение в голову. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1118).

7 ноября 1943 года командир 937-го Краснознамённого истребительного авиационного полка (322-я истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 3-я Воздушная армия, Калининский фронт) майор А. И. Кольцов при нанесении штурмового удара по вражескому аэродрому в районе деревни Уна (10 км северо-западнее посёлка Лиозно, Витебской области) был сбит в воздушном бою и сгорел в самолёте. Всего совершил около 230 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 4 и в составе группы 2 самолёта противника. Первоначально был похоронен на кладбище деревни Заольша (Лиозненский район Витебской области). Позже презахоронен в братской могиле в деревне Черница того же района.

В Воронеже на здании школы-интерната и на здании Воронежского авиазавода установлены мемориальные доски. Имя Героя носила ныне закрытая Черницкая школа-интернат, а сейчас носит одна из улиц в районном центре - городском посёлке Лиозно. 31 августа 2016 года в Воронеже на Алле Героев на территории "Музея-диорамы" торжественно открыт бронзовый бюст А. И. Кольцова.

Награждён орденами: Ленина (02.09.1943), Красного Знамени (23.10.1942), Отечественной войны 1-й степени (12.08.1943), Красной Звезды (25.07.1941).