Родился 10 января 1917 года в деревне Межево (ныне Конаковского района Тверской области). В детстве с семьёй переехал в город Тверь. Там окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал токарем на вагоностроительном заводе в Твери, в 1937 году окончил аэроклуб. С апреля 1938 года в рядах Красной Армии. В феврале 1939 году окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков (5 февраля присвоено воинское звание "младший лейтенант"). Служил младшим лётчиков в 18-м ИАП на Дальнем Востоке, затем был направлен для продолжения службы на запад страны.

Участник Советско-Финляндской войны с февраля по 13 марта 1940 года, воздушных побед не имел. С августа 1940 года - старший лётчик 147-го ИАП (1-я САД, ВВС Ленинградского военного округа).

С 22 июня 1941 года лейтенант П. А. Кайков в действующей армии: в должности пилота 147-го истребительного авиационного полка (1-я смешанная авиационная дивизия, ВВС 14-й Армии, ВВС Северного фронта, с 23 августа 1941 года - Карельского фронта), летал на И-153. Совершил 67 боевых вылетов на штурмовку вражеских объектов, сопровождение самолётов, прикрытие аэродрома; ещё 110 вылетов совершил на самолёте У-2 на связь, доставку боеприпасов и продовольствия партизанам. Участвовал в 5 воздушных боях.

29 ноября 1941 года лейтенант П. А. Кайков вылетел в составе эскадрильи на штурмовку войск противника на Мурманском направлении. При возвращении на свой аэродром, в районе Лоухи советские лётчики были атакованы истребителями противника. Лейтенант П. А. Кайков вёл бой с парой Me-109. Вскоре один "Мессер" вышел из боя. С другим он сошёлся на высоте 150 метров в лобовой атаке. Немец с разворотом стал переходить на бреющий полёт. Наш пилот догнал его и над самыми верхушками деревьев ударил винтом своей "Чайки" по хвостовому оперению Ме-109. При этом оба самолёта врезались в землю. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 июня 1942 года лейтенанту Кайкову Павлу Александровичу посмертно было присвоено звание Героя Советского Союза. Похоронен в посёлке городского типа Мурмаши (Кольского района Мурманской области) на воинском кладдбище.

Его именем названы улицы в Твери и посёлке Мурмаши, одна из школ Мурманска, учебное заведение Калининского вагоноремонтного завода. На здании школы в родной деревне и в Твери на улице, носящей его имя, установлены мемориальные доски. Имя героя носил и траулер - "Павел Кайков", построенный в 1979 году на Гданьской судостроительной верфи имени В. И. Ленина.

Награждён орденом Ленина (06.06.1942, посмертно).

В 2009 году место падения самолёта лейтенанта П. А. Кайкова поисковикам из группы "Икар" показал местный житель. А в июле 2010 года были произведены работы по подъёму самолёта из болота. На нескольких фрагментах обшивки был найден выштампованный номер самолёта (№ 6330), а также шильда от мотора М-62 (№ 624257) по которым удалось установить, что именно на этом самолёте погиб лейтенант П. А. Кайков. 11 сентября, во время проведения мемориальной экспедиции "Заполярье 2017", совместно с поисковой группой "ИКАР" на этом месте был установлен памятный знак. Сам лётчик был похоронен в посёлке Мурмаши (Мурманской области) сразу же после гибели.