Родился 28 июля 1919 года в деревне Рига-Васильевка (ныне в черте города Новомосковска, Тульской области). С детства работал в колхозе. Вскоре отца, председателя колхоза, перевели на работу в Москву. Там Борис, закончил в 1934 году 7 классов средней школы. Трудился на автомобильном заводе имени Сталина (позднее - ЗИЛ), там же окончил и фабрично-заводское училище. Вскоре вернулся в город Сталиногорск (ныне Новомосковск), где поступил работать электромонтёром на Сталиногорскую ГРЭС, одновременно с учёбой окончил Сталиногорский аэроклуб. После его окончания работал в нём лётчиком-инструктором. С 1 марта 1939 года в рядах Красной Армии, призван Сталиногорским ГВК. Добровольно поступил в Качинскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в 1940 году. Служил в строевых частях ВВС Киевского Особого военного округа, летал на И-16.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант Б. И. Карасёв в действующей армии: в должности командира звена 88-го ИАП (44-я ИАД, ВВС Юго-Западного и Южного фронтов), летал на И-16. 2 июля 1941 года был сбит в бою с Ме-109, выпрыгнул с парашютом, который раскрылся у самой земли, в низине. Падение лётчика видели с командного пункта полка, и посчитали лётчика погибшим. Однако через несколько часов хромающий Б. И. Карасёв пешком пришёл на аэродром...

Согласно наградных материалов, к 1 февралю 1942 года командир звена 88-го ИАП (20-я САД, ВВС 18-й Армии, Южный фронт) лейтенант Б. И. Карасёв совершил 254 боевых вылета на И-16 (включая 86 - на штурмовку и 36 - на разведку), провёл 30 воздушных боёв, сбил лично 3 самолёта противника: Хе-111, Ме-109 и Хш-126 (не подтверждается оперативными документами), штурмовыми действиями уничтожил много боевой техники и живой силы противника.

9 марта 1942 года в районе города Барвенково (Харьковской области) был сбит в бою с большой группой Ме-109. Ему удалось посадить горящий самолёт "на брюхо". При этом, машина развалилась на части, лётчика отбросило далеко в сторону. Бойцы расположенной рядом артиллерийской батареи, видевшие этот бой, доставили лётчика в госпиталь с тяжёлой контузией. Через месяц лечения вновь вернулся в строй и продолжил боевую работу.

В июне 1942 года был направлен в 927-й ИАП, который на тот момент находился в тылу на переформировании и доукомплектовании в 26-м ЗИАП Закавказского военного округа (станция Сандары, Грузия), с 21 декабря 1942 года в 14-м ЗИАП Московского военного округа (город Иваново) осваивал истребители Ла-5. С 6 июня 1943 года приступил к боевой работе на Воронежском фронте (в составе 8-й Гвардейской ИАД, 5-го ИАК, 2-й Воздушной армии), летая на Ла-5. Принимал участие в Курской битве. 9 июля 1943 года вся оставшаяся матчасть и 14 лётчиков были переданы в 41-й Гвардейский ИАП.

В новом полку старший лейтенант Б. И. Карасёв продолжил вести боевую работу на Воронежском фронте, который 20 октября 1943 года был переименован в 1-й Украинский фронт (в составе 217-й ИАД, 5-го ИАК, 2-й Воздушной армии), продолжая летать на Ла-5. 1 августа 1943 года назначен командиром эскадрильи. С апреля 1945 года летал на Ла-7.

Согласно наградных материалов, с 1 февралю 1942 по 1 июня 1944 года командир эскадрильи 41-го Гвардейского ИАП ВВС (8-я Гвардейская ИАД, 1-й Украинский фронт) Гвардии капитан Б. И. Карасёв совершил 170 боевых вылетов на И-16 и Ла-5, провёл 33 воздушных боя, сбил лично 5 (2 Ю-88, 1 Ю-87 и 2 ФВ-190) и в составе группы 4 самолёта противника (что частично не подтверждается оперативными и отчётными документами).

Далее Гвардии капитан Б. И. Карасёв продолжал вести боевую работу, лично сбил ещё 1 самолёт противника. Участвовал в Проскуровско-Черновицкой, Львовско-Сандомирской, Висло-Одерской, Берлинской, Пражской наступательных операциях.

К 11 мая 1945 года командир эскадрильи 41-го Гвардейского истребительного авиационного полка (8-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 5-й истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии капитан Б. И. Карасёв совершил 509 боевых вылетов (включая 136 - на штурмовку и 85 - на разведку), провёл 80 воздушных боёв, сбил не менее 3 самолётов противника лично и 4 в группе с товарищами (в наградных материалах говорится о 9 личных и 4 групповых победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. Был помощником командира истребительного авиационного полка, старшим инспектором-лётчиком 42-й Воздушной армии. С 1952 года - старший инспектор-лётчик в Главном Штабе Войск ПВО Страны. С 5 ноября 1964 года Гвардии полковник Б. И. Карасёв - в запасе. Работал в Гражданском Воздушном Флоте СССР. Работал в Центральном управлении международных воздушных сообщений, был штурманом и руководителем бюро аэронавигационной информации в аэропорту Шереметьево. С 1997 года - на пенсии. В 1990-е годы фронтовые товарищи нашли представление военных лет к званию Героя Советского Союза, их ходатайство было поддержано Советом ветеранов Аэрофлота и руководством Аэрофлота. Указом Президента Российской Федерации от 22 сентября 1997 года присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением знака особого отличия - медали "Золотая Звезда". Жил в Москве. Умер 29 августа 2011 года, похоронен на Троекуровском кладбище.

Почётный гражданин города Новомосковск (с 2003 года). Имя Б. И. Карасёва увековечено в городе Новомосковске: на Аллее Героев (улица Московская), на Стене Героев Советского Союза на территории Мемориального комплекса Парка Памяти и Славы в Урванском лесу.

Награждён орденами:  Красного Знамени (05.11.1941, 29.04.1942, 05.07.1944),   Александра Невского (22.02.1945),  Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985),  Красной Звезды (14.08.1957); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).