Родился 21 сентября 1923 года в деревне Усть-Буровая (ныне Соликамский район Пермского края). Окончил 10 классов средней школы № 1 в городе Усолье, куда были по работе переведены родители. В вовремя учёбы в школе ходил на теоретические занятия в Березниковском аэроклубе, после школы продолжил обучение в Пермском аэроклубе. Одновременно работал в школах лаборантом в физическом и химическом кабинетах. С января 1941 года в рядах Красной Армии, призван Соликамским РВК. В ноябре 1941 года окончил Цнорис-Цхальскую военную авиационную школу пилотов и был направлен для переучивания на новую технику в Руставскую ВАШП, которую окончил в мае 1942 года. С апреля 1943 года служил пилотом в 908-м ИАП (141-я ИАД ПВО, Куйбышевский и Восточный районы ПВО). Боевой работы полк не вёл, занимался по плану учебно-боевой подготовки. В августе 1943 года получил английские истребители "Харрикейн", в апреле 1944 года был включён в 8-й корпус ПВО (Южный фронт ПВО).

С 5 июня 1944 года младший лейтенант В. И. Елькин в действующей армии. Воевал в составе 908-го ИАП (141-я ИАД ПВО). Прошёл путь от старшего лётчика до командира звена. Вскоре, не прерывая боевой работы, полк приступил к освоению американских истребителей "Аэрокобра".

8 июля 1944 года командир звена 908-го истребительного авиационного полка (10-й истребительный авиационный корпус ПВО, Южный фронт ПВО) младший лейтенант В. И. Елькин вылетел на перехват вражеского самолёта-разведчика Ю-88 в район железной дороги Тернополь - Проскуров. Обнаружив "Юнкерс", он пошёл в атаку и сбил его. В это время сам был атакован парой Ме-109, подбит и ранен (в руку и ногу). Несмотря на это, продолжил вести бой и уничтожил один Ме-109. После того, как был израсходован весь боезапас, таранным ударом уничтожил второй Ме-109. При этом, погиб и сам. Оба самолёта упали вблизи деревни Кужницы (в 1,5 км от линии фронта). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 августа 1944 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза. Всего совершил 1 боевой вылет, провёл 1 воздушный бой, в котором сбил лично 3 самолёта противника.

Похоронен в братской могиле в городе Хмельницкий (Никопольский район Днепропетровской области Украины). В городе Усолье (Пермский край) и городе Пермь его именем названы улицы. В Усолье сооружена стела, его имя носила пионерская дружина школы № 1, на здании школы установлена мемориальная доска. Его имя увековечено на Мемориале умершим от ран в госпиталях города Соликамска. В 1967 году на центральной площади города Усолье, носящей его имя, был открыт памятник Герою.

Награждён орденом Ленина (22.08.1944, посмертно).