Родился 2 декабря 1919 года в селе Старая Збруевка (ныне Голопристанский район Херсонской области Украины). В 1934 году переехал с родителями во Владивосток (Приморский край). Окончил среднюю школу, учёбу совмещал с занятиями в аэроклубе, занимался боксом (был победителем юношеского первенства Владивостока в 1935 году и чемпионом Северо-Кавказского военного округа в 1940 и 1941 гг). С 10 декабря 1938 года в рядах Красной Армии, призван Владивостокским РВК. В 1940 году окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков в звании младшего лейтенанта и был оставлен в ней лётчиком-инструктором. После начала Великой Отечественной войны был направлен в 12-й ЗАП для переподготовки лётчиков на самолёты МиГ-3 и "Харрикейн".

17 апреля 1942 года прибыл на Западный фронт в 179-й ИАП (ВВС 49-й Армии, 202-я ИАД, 204-я БАД), где прошёл путь от командира звена до командира эскадрильи. Летал на "Харрикейне", Як-1 и Як-9. С апреля 1944 года воевал в 118-м ОКРАП, где летал на Як-9.

К 23 марта 1945 года командир 2-й эскадрильи 118-го Отдельного корректировочно-разведывательного авиационного полка (2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) майор А. А. Баршт совершил 365 боевых вылетов (из них 28 - на корректировку артиллерийского огня), в воздушных боях сбил 3 самолёта противника лично и ещё 3 в составе группы (в наградных документах говорится о 4 личных и 2 групповых победах). Сам был дважды ранен. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 5997). К концу войны совершил 369 боевых вылетов.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В 1949 году окончил Военно-Воздушную академию. Служил в Прикарпатском военном округе, в Китайской Народной Республике, командовал истребительным авиаполком на МиГ-17 в составе ВВС Тихоокеанского Флота, служил начальником Отдела боевой подготовки истребительной дивизии ПВО на Сахалине. В дальнейшем служил старшим инспектором авиации Армии ПВО в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). С 6 февраля 1965 года полковник А. А. Баршт - в запасе. Работал начальником Гражданской обороны на одном из заводоы, начальником учебно-лётной базы Российского государственного гидрометеорологического университета, возглавлял планерный клуб. Являлся вице-президентом Северо-Западного регионального управления Федерации любителей авиации России, руководителем Северо-Западного отделения всероссийского фонда "Победа-1945". Умер 21 марта 2006 года в Санкт-Петербурге, похоронен на Никольском кладбище Александро-Невской лавры. Его имя носит средняя школа № 1 во Владивостоке.

Награждён орденами: Ленина (10.04.1945), Красного Знамени (13.09.1943, 29.04.1957), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (15.08.1944) Красной Звезды (23.07.1942, 30.04.1954), медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).