Родился 30 декабря 1908 года в селе Нащекино (ныне Сасовский район Рязанской области). В 1925 году окончил 7 классов средней школы в городе Елотьма (Рязанская область). С 1930 года в рядах Красной Армии. В 1932 году был направлен в Военно-теоретическую школу лётчиков (город Ленинград). Окончив теоретический курс, продолжил учёбу в 14-й Военной школе пилотов (город Энгельс). Закончив в декабре 1934 года курс лётной подготовки, был оставлен там же лётчиком-инструктором. 23 марта 1936 года присвоено воинское звание "лейтенант", а 26 июля 1938 года - "старший лейтенант".

Участник Советско-Финляндской войны с 30 ноября 1939 года в должности командира звена 2-й эскадрильи 5-го САП (ВВС Ленинградского военного округа), летал на И-16. 1 февраля 1940 года присвоено воинское звание "капитан". С 17 января 1940 года - командир звена 147-го САП (ВВС 14-й Армии, Северо-Западный фронт). Был награжден орденом Красного Знамени. С 12 июня 1940 года - командир эскадрильи 69-го ИАП (ВВС Одесского военного округа).

С 22 июня 1941 года капитан М. Е. Асташкин в действующей армии. Воевал в составе 69-го ИАП (21-я САД, ВВС Южного фронта), летал на И-16. Боевую работу начал с защиты города Кишинёва (ныне столица Республики Молдова). В июле 1941 года полк был передан в состав ВВС Отдельной Приморской армии, участвовал в обороне Одессы (являясь единственным авиационным полком Одесского оборонительного района).

14 сентября 1941 года командир 1-й эскадрильи 69-го истребительного авиационного полка (ВВС Отдельной Приморской армии) капитан М. Е. Асташкин погиб в районе хутора Важный (Беляевский район Одесской области). Согласно последнего наградного листа, был сбит "...ведя неравный воздушный бой с истребителями противника". Согласно послевоенной версии, был подбит зенитным огнём и направил свой горящий самолёт на скопление пехоты противника. Всего совершил 117 боевых вылета (в том числе, 33 - на штурмовку и 10 - на разведку), в 16 воздушных боях сбил лично 4 и в составе группы 6 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 февраля 1942 года удостоен звания Героя Советского Союза (посмертно), в числе первых 12-ти лётчиков 69-го ИАП.

Похоронен на Аллее Славы в городе Одесса (центральный Парк культуры и отдыха имени Т. Г. Шевченко). Именем Героя названа улица в Одессе. В селе Огарёво-Почково (Сасовский район Рязанской области) установлен памятный знак. В городе Сасово на здании школы № 2 установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (10.02.1942), Красного Знамени (05.11.1940, 05.11.1941).