Родился 9 октября 1921 года в деревне Ревякино (упразднённая в 2019 году деревня Борисоглебского района Ярославской области). Окончил среднюю школу. С 28 августа 1938 года в рядах Красной Армии, призван Ленинский РВК (города Ленинграда). В 1942 году окончил Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в 8-м ЗИАП Приволжского военного округа.

С 1 июня 1943 года лейтенант А. А. Зиновьев в действующей армии: в должности командира звена 866-го ИАП. Воевать начал на Юго-Западном фронте, который 20 октября 1943 года был переименован в 3-й Украинский фронт (в составе 288-й ИАД, 10-го САК, 17-й Воздушной армии), летал на Як-1Б и Як-7Б. В августе 1943 года назначен заместителем командира эскадрильи. К январю 1944 года старший лейтенант А. А. Зиновьев был уже командиром эскадрильи. В марте 1944 года в полк стали поступать самолёты Як-9.

8 июня 1944 года капитан А. А. Зиновьев на самолёте Як-1Б был подбит огнём зенитной артиллерии противника при фотографировании в районе Пуркарь. Совершил вынужденную посадку на фюзеляж в 4 км восточнее посёлка Коротное (самолёт повреждён - сгорел двигатель). К августу 1944 года был уже помощником командира полка по воздушно-стрелковой службе.

17 августа 1944 года в полк поступили 8 самолётов Як-3 и лётный состав, не прерывая боевой работы, приступил к их освоению. Участвовал в боях за освобождение Белграда. С 15 декабря 1944 года боевой работы не вёл: лётный состав полка отправился в 18-й ОУТАП (17-й Воздушной армии) для получения новых Як-3. С 20 января 1945 года вернулся к боевой работе на 3-м Украинском фронте (в составе 17-й Воздушной армии), летая уже на Як-3. Принимал участие в боях за взятие Будапешта и Вены.

К 9 мая 1945 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе 866-го истребительного авиационного полка (288-я истребительная авиационная дивизия, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) майор А. А. Зиновьев совершил 227 боевых вылетов, провёл 37 воздушных боёв и сбил лично 7 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС, в том числе и Военно-Воздушной академии имени Ю. А. Гагарина (в подмосковном посёлке Монино). 13 декабря 1971 года полковник А. А. Зиновьев погиб (подробности не известны).

Награждён орденами: Красного Знамени (21.09.1943, 06.03.1944, 20.09.1944), Отечественной войны 2-й степени (31.07.1943), Красной Звезды (03.11.1953), "За храбрость" 2-й степени (Болгария); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).