Родился 21 июля 1923 года в селе Андреевка (ныне Сергачский район Нижегородской области). С 28 ноября 1940 года в рядах Красной Армии, призван Ржевским РВК (Калининской области). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС. Проходил переучивание на новую технику в 4-м ЗИАП (ВВС Московского военного округа).

С августа 1942 года сержант А. В. Закревский на фронтах Великой Отечественной войны. По март 1943 года воевал в составе 662-го САП (ВВС 52-й Армии Волховского фронта), летая на И-16. 21 сентября 1942 года при штурмовке железнодорожного эшелона на станции Глухая Кересть был тяжело ранен в правую ногу (перебиты нервы и сухожилия), но сумел благополучно вернуться на свой аэродром. С апреля 1943 года воевал в составе 254-го ИАП (269-я ИАД), где летал на И-16 и Ла-5.

24 мая 1943 года командир разведывательного звена 254-го истребительного авиационного полка младший лейтенант А. В. Закревский в воздушном бою таранным ударом сбил вражеский истребитель ФВ-190. Сам приземлился на парашюте. 24 июля 1943 годы при выполнении разведывательного задания был тяжело ранен в руку, лечился в госпитале.

К ноябрю 1944 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе 254-го истребительного авиационного полка (269-я истребительная авиационная дивизия, 14-я Воздушная армия, 2-й Прибалтийский фронт) майор А. В. Закревский совершил около 350 боевых вылетов, провёл около 35 воздушных боёв, в которых сбил лично 7 самолётов противника. Сражался на Волховском, Ленинградском, 3-м Прибалтийском и 2-м Прибалтийском фронтах.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС (командовал полком, был заместителем командира дивизии). С 25 мая 1960 года полковник А. В. Закревский - в запасе. Жил и работал в городе Харькове (Украина).

Награждён орденами: Красного Знамени (26.05.1943, 22.02.1944, 28.08.1944, 28.09.1956), Отечественной войны 1-й степени (07.06.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (29.04.1954, 30.12.1956); медалями, в том числе "За отвагу" (29.10.1942) и "За боевые заслуги" (20.04.1953).