Родился 12 декабря 1911 года в Москве. В 1929 году окончил школу ФЗУ. Работал помощником мастера ткацкого цеха. После окончания курсов механизации, работал инструктором-механиком в зерносовхозе. С марта 1931 года - бригадир слесарей на заводе в Москве. С 5 апреля 1933 года в рядах Красной Армии. По комсомольской путёвке был направлен в Ейскую военную авиационную школу морских лётчиков. С февраля 1934 года в звании лейтенанта служил младшим лётчиком в cоставе 12-й ИАЭ ВВС Ленинградского военного округа.

Участник гражданской войны в Испании с 3 января по 14 августа 1937 года. Был пилотом, а затем командиром звена истребителей И-15 и 1-й эскадрильи И-16. В воздушных боях сбил лично 5 и в составе группы 3 самолёта противника. Награждён двумя орденами Красного Знамени.

По возвращении из Испании получил звание капитана и был назначен командиром эскадрильи в своём округе. С марта 1938 года по май 1939 год был командиром 19-го ИАП Ленинградского военного округа, с мая по октябрь 1939 года командовал 70-м ИАП.

С 11 мая по 16 сентября 1939 года участвовал в боях с японцами на реке Халхин-Гол. Командуя 70-м истребительным авиационным полком (1-я Армейская группа) капитан А. А. Зайцев умело руководил действиями подчинённых, которыми было уничтожено 25 самолётов противника. Лично выполнил 29 боевых вылетов на И-16, побед не имел. 17 ноября 1939 года за умелое руководство полком удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 170).

Участник Советско-Финляндской войны с 30 декабря 1939 года по март 1940 года. Боевую работу вёл в составе Управления авиационной группы 8-й Армии (командир группы) и 148-го ИАП, побед не имел. Награждён орденом Красной Звезды. Затем продолжал службу инспектором по технике пилотирования дивизии и корпуса в Закавказском военном округе. С июля 1941 года по январь 1942 года учился в Военной академии командного и штурманского состава ВВС, затем работал лётчиком-испытателем НИИ ВВС.

С июня 1942 года майор А. А. Зайцев на фронтах Великой Отечественной войны в должности командира эскадрильи 832-го ИАП, летал на Як-7. С февраля 1944 года подполковник А. А. Зайцев командовал 431-м ИАП, летал на Ла-5. К концу войны совершил 194 боевых вылета и провёл 29 воздушных боёв. В наградных документах указывается на 1 личную победу, но в оперативных и отчётных документах она не упоминается.

После войны продолжал служить в ВВС, командовал авиационным полком. С 15 мая 1952 года подполковник А. А. Зайцев - в запасе. Жил в Москве. Умер 25 декабря 1965 года.

Награждён орденами: Ленина (17.11.1939), Красного Знамени (27.06.1937, 03.11.1937), Суворова 3-й степени (30.07.1944), Александра Невского (11.05.1945), Красной Звезды (1940, 22.02.1943, 20.06.1949); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).