Родился в апреле 1919 в городе Иваново-Вознесенск (ныне Иваново) в семье служащего. В 1936 году окончил 7 классов и поступил в Ивановский химический техникум, одновременно занимался в аэроклубе. С декабря 1937 года в рядах Красной Армии. В августе 1939 года окончил Пермскую военную авиационную школу и получил назначение в 24-й ИАП (ВВС Московского военного округа). 18 июня 1941 года был переведён в 233-й ИАП (ВВС МВО).

С 22 июня 1941 года младший лейтенант К. Ф. Захаров в действующей армии: в составе 6-го ИАК ПВО. Летал на И-16, МиГ-3, Як-1, Як-7 и Як-9. Прошёл путь от лётчика до командира эскадрильи. Защищал небо Москвы; сражался на Западом, Брянском, Центральном и Белорусском фронтах.

13 января 1944 года командир эскадрильи 233-го истребительного авиационного полка (23-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, Белорусский фронт) капитан К. Ф. Захаров был сбит зенитной артиллерией противника западнее города Мозырь (Гомельская область) и погиб. К тому времени совершил 190 боевых вылетов, провёл 41 воздушный бой, в которых сбил лично 16 самолётов противника (в наградных документах говорится о 15 личных и 1 групповой победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 августа 1944 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Награждён орденами: Ленина (02.08.1944), Красного Знамени (04.03.1942, 23.06.1943), Отечественной войны 1-й степени (14.08.1943). Именем Героя названа улица в городе Иваново.