Родился 19 января 1916 года в городе Петроград (ныне Санкт-Петербург). Окончил 9 классов. Жил в Москве, работал на фармацевтическом предприятии, окончил Центральный аэроклуб. С 1940 года в рядах Красной Армии. В 1941 году окончил Вязниковскую военную авиационную школу пилотов. Служил в ней лётчиком-инструктором и командиром звена.

С 16 апреля 1943 года младший лейтенант Е. М. Ярёменко на фронтах Великой Отечественной войны. По 27 мая 1943 года проходил боевую стажировку в составе 5-го Гвардейского истребительного авиационного полка, а с июня 1943 года официально служил в составе этого полка. Был старшим лётчиком, командиром звена, заместителем командира эскадрильи. Летал на Ла-5 и Ла-7.

К концу войны заместитель командира эскадрильи 5-го Гвардейского ИАП (11-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии капитан Е. М. Ярёменко совершил около 200 боевых вылетов, провёл около 50 воздушных боёв, сбил лично 15 и в составе пары 2 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7661).

После войны продолжал служить в ВВС. В 1947 году окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы. До октября 1952 года служил командиром эскадрильи и помощником командира по технике воздушного боя и воздушной стрельбе в 805-м, 304-м и 351-м истребительных авиаполках Белорусского военного округа. Затем служил помощником командира полка по тактике воздушного боя в 773-м и 672-м истребительных авиаполках Северного военного округа в городе Мончегорск (Мурманская область). С апреля 1958 года Гвардии подполковник Е. М. Ярёменко - в запасе. Жил в Одессе. Умер 25 января 1975 года.

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (17.08.1943, 05.10.1944), Отечественной войны 1-й степени (17.01.1944), Красной Звезды (05.07.1943, 04.06.1955, 26.10.1955); медалями.