Родился 13 августа 1918 года в городе Торжок (Тверская область). После смерти отца, мать с детьми переехала в Крым. Там Александр в 1935 году окончил 7 классов. В 1937 году перебрался в Керчь и поступил работать на металлургический завод имени Войкова. Позднее окончил 2 курса сельскохозяйственного техникума в Ялте, работал электромонтёром на заводе в Симферополе. Без отрыва от производства окончил аэроклуб, затем переведён в Симферопольский лётный отряд ОСОАВИАХИМ. С 18 мая 1940 года в рядах Красной Армии, по комсомольской путёвке направлен в Качинскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в июне 1941 года.

С июля 1941 года сержант А. А. Вильямсон на фронтах Великой Отечественной войны в составе 298-го ИАП (24 августа 1943 года преобразован в 104-й Гвардейский ИАП), летал на И-16 и "Аэрокобре". Прошёл боевой путь от рядового пилота до командира эскадрильи. 28 августа 1943 года был подбит, получил тяжёлое ранение в голову, сумел дотянуть до аэродрома, после посадки потерял сознание. Сражался на Южном, Северо-Кавказском, 1-м Украинском, 2-м Украинском и 4-м Украинском фронтах.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 104-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии капитан А. А. Вильямсон совершил 382 боевых вылета, провёл 66 воздушных боёв, в которых сбил лично 18 и в составе группы 6 самолётов противника. Участник исторического Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади в сводном полку 1-го Украинского фронта. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7875).

После окончания войны продолжал службу в ВВС (в Центральной группе войск, Туркменском, Таврическом и Киевском военных округах). В 1953 году окончил высшие офицерские лётно-тактические курсы. Проходил службу в 764-м ИАП войск ПВО Уральского района с февраля 1954 года на должности заместителя командира полка по лётной подготовке. В период 1958 - 1960 гг. командовал 764-м ИАП ПВО. С 5 сентября 1960 года Гвардии полковник А. А. Вильямсон - в запасе, по состоянию здоровья. С 1963 года работал в системе Аэрофлоте (на Камчатке, затем в Симферополе диспетчером службы движения аэропорта). После выхода на заслуженный отдых, жил в городе Симферополь (Крым). Умер 23 февраля 1986 года, похоронен на кладбище "Абдал".

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (05.04.1943, 17.06.1943), Александра Невского (25.09.1944), Отечественной войны 1-й степени (02.02.1944, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (02.05.1943), Красной Звезды (25.04.1945, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).