Родился 17 апреля 1918 года в городе Шуя (ныне административный центр Шуйского района Ивановской области). Окончил 7 классов, а в 1935 году и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал токарем на заводе № 5 в городе Шуя. С 12 августа 1936 года в рядах Красной Армии, призван Рыбинским РВК (Ярославская область). В декабре 1938 года окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков. Служил младшим лётчиком в составе 43-го ИАП (ВВС Киевского Особого военного округа), с 8 ноября 1939 года - старшим лётчиком.

С 17 января по июнь 1940 года младший лейтенант С. Н. Веселовский принимал участие в боевых действий с японцами в небе Китая (к моменту отправки имел 55 часов налёта, включая около 50 часов на И-16). Воздушных побед не имел.

С 1 июня 1943 года лейтенант С. Н. Веселовский в действующей армии: в должности старшего лётчика 181-го ИАП (235-я ИАД). 16 июня 1943 года был назначен командиром звена. 31 августа 1943 года присвоено воинское звание "старший лейтенант". С 11 октября 1943 года - заместитель командира эскадрильи, с 18 февраля 1944 года - командир эскадрильи. Сражался на Северо-Кавказском, Воронежском и 1-м Украинском фронтах. Летал на Ла-5.

28 февраля 1944 года командир эскадрильи 181-го истребительного авиационного полка (235-я истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) старший лейтенант С. Н. Веселовский погиб в воздушном бою. Всего совершил около 150 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 10 самолётов противника. Похоронен в городе Казатин (Винницкая область Украины). 19 марта 1944 года посмертно присвоено воинское звание "капитан".

Награждён орденами: Красного Знамени (07.02.1944), Отечественной войны 1-й степени (22.08.1943), Красной Звезды (20.06.1943); медалями.