Родился 28 июня 1920 года в деревне Барышево (Гжатский район Смоленской области). С 6 декабря 1939 года в рядах Красной Армии, призван Москворецким РВК (город Москва). В 1942 году окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков, затем проходил переучивание на новую технику в 4-м ЗИАП (ВВС Приволжского военного округа).

С 14 июня 1943 года сержант К. Н. Васильев в действующей армии. Воевал в составе 5-го Гвардейского ИАП. Сражался на Юго-Западном, 3-м Украинском и 1-м Украинском фронтах. Летал на Ла-5.

23 июня 1943 года в воздушном бою был ранен в ногу и руку, истекая кровью привёл и посадил повреждённый самолёт на свой аэродром. После посадки потерял сознание и был направлен в госпиталь.

К 9 мая 1945 года командир звена 5-го Гвардейского истребительного авиационного полка (11-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 2-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант К. Н. Васильев совершил более 160 боевых вылетов, провёл около 35 воздушных боёв и сбил лично 12 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 26 августа 1952 года Гвардии старший лейтенант К. Н. Васильев - в запасе. Жил в городе Можайске (Московская область), работал бригадиром комбайнёров в совхозе.

Награждён орденами: Красного Знамени (03.01.1944, 01.07.1944, 29.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).