Родился 29 июля 1917 года в селе Гришковцы (Бердичевский район Житомирской области Украины). После окончания в 1931 году сельской школы поступил в школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) города Житомира, в 1933 году - в школу автомехаников. С мая 1934 года работал мотористом в авиационных мастерских, одновременно учился на рабфаке, посещал городской аэроклуб. С марта 1939 года в рядах Красной Армии. В октябре 1940 году окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков, служил в составе 4-го ИАП.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант А. Д. Флейшман на фронтах Великой Отечественной войны в должности младшего лётчика того же 4-го ИАП. Летал на И-153, выполнил более 60 боевые вылетов (в основном на штурмовку войск противника). 9 июля 1941 года сбит в воздушном бою, спасся на парашюте. С ноября 1941 года (после перевооружения полка на английские "Харрикейны") выполнял задачи противовоздушной обороны Ярославля, Рыбинска, севера Московской области. Летом 1942 года, в должности командира звена, сражался на Брянском фронте. С осени 1942 года - на Сталинградском фронте, где летал на Як-7. Весной 1943 года участвовал в сражениях на Кубани, летал уже на Як-1.

К 25 мая 1943 года заместитель командира эскадрильи 4-го истребительного авиационного полка (287-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, Северо-Кавказский фронт) старший лейтенант А. Д. Флейшман совершил 306 боевых вылетов, в 57 воздушных боях лично сбил 11 и в группе 14 самолётов противника. За эти подвиги представлен к высшей награде страны.

Летом 1943 года принимал участие в боях на Курской дуге. Последние вылеты совершал на Як-9. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1109).

В сентябре 1943 года капитан А. Д. Флейшман направлен на учёбу в Военно-Воздушную академию. К тому времени совершил 326 боевых вылетов, провёл более 60 воздушных боёв, сбил 13 самолётов противника лично и 14 в составе группы. Воевал на Юго-Западном, Брянском, Сталинградском и Северо-Кавказском фронтах.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. С 1957 года полковник А. Д. Флейшман в запасе. Жил в городе Харькове. Работал лектором городского общества "Знание". В 1986-1989 гг. возглавлял Совет ветеранов войны и труда Фрунзенского района Харькова, в 1995-1999 гг. - председатель Совета инвалидов войны и военной службы Харьковской области. Умер 1 сентября 2006 года. Похоронен в Харькове на кладбище № 2. На доме, в котором жил Герой, установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (24.08.1943), Красного Знамени (05.11.1941), Красной Звезды, Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени (31.08.1943, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (15.02.1943); медалями.

Список известных воздушных побед А. Д. Флейшмана:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
06.07.1942	1  Ме-109  (в гр. 1/10)	Большая Слепуха	"Харрикейн"
	1  Ме-109  (в гр. 1/11)	Ивановка
08.07.1942	4  Ме-109  (в гр. 4/12)	Колобино - Долгуша
10.07.1942	1  Ме-109  (в гр. 1/8)	Замятино
12.07.1942	1  Ю-88	Ломово
21.07.1942	2  Ме-109  (в гр. 2/6)	Большая Верейка
	1  "Хе-113"  (в гр. 1/6)
	1  Ме-109  (в гр. 1/7)	западнее Большая Верейка
23.07.1942	1  Ю-87  (в гр. 1/6)	севернее Привалы
28.10.1942	1  Ме-109	западнее Городище	Як-7
29.10.1942	1  Ме-109	Красная Слобода
	1  Ме-109	Сталинград
05.11.1942	1  Ю-88	район Сталинграда
29.04.1943	1  Ме-109	южнее Крымская	Як-1
30.04.1943	1  Ме-109
03.05.1943	1  Ме-109
	1  Хе-111	западнее Крымская
04.05.1943	1  Хе-111	Крымская
07.05.1943	1  Ме-109  (в гр. 1/5)	Неберджаевская
	1  ФВ-189  (в паре)
08.05.1943	1  Ме-109	северо-западнее Нижнебаканская
04.08.1943	2  ФВ-190	Белые Берега	Як-9
Всего сбитых самолётов - 13 + 14;  боевых вылетов - 326;  воздушных боёв - более 60.

Из материалов прессы военных лет:

Из фотоматериалов послевоенных лет: