Родился 6 ноября 1917 года в селе Ново-Троицкое (Терновский район Воронежской области). В 1934 году, после окончании средней школы, переехал в Москву. Работал на строительстве Московского метрополитена (плотник, слесарь), одновременно обучался на рабфаке. Без отрыва от производства учился летать в аэроклубе, в 1936 году по спецнабору направлен в Авиашколу Главного управленияя Севморпути (город Николаев), которая в 1938 году преобразована в Военно-морское авиационное училище им. Леваневского. Закончив училище в 1939 году, направлен служить в ВВС Краснознамённого Балтийского флота.

С июня 1941 года лейтенант А. Е. Тульский на фронтах Великой Отечественной войны в составе 22-й ОАЭ КБФ, летал на Че-2. В ноябре 1941 года переведён в 118-й РАП ВВС СФ, летал на МБР-2. В марте 1942 года направлен в 27-й ИАП СФ, где летал уже на истребителях И-15бис и И-16. Вскоре назначен командиром звена. С марта 1943 года сражался в составе 78-го ИАП СФ, летал на "Харрикейне". 3 июля 1943 года старший лейтенант А. Е. Тульский назначен командиром 1-й эскадрильи. С 20 октября 1943 года капитан А. Е. Тульский - командир 1-й эскадрильи 255-го ИАП, где пересел на "Аэрокобру". 22 апреля 1944 года назначен командиром этого полка.

К маю 1945 года командир 255-го истребительного авиационного полка (5-я минно-торпедная Киркенесская Краснознамённая дивизия ВВС Северного Флота) майор А. Е. Тульский совершил 241 боевой вылет, в воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника (ещё 1 + 0 предположительно).

После окончания войны продолжал служить в морской авиации. С 1946 года учился на Высших офицерских курсах ВВС ВМФ. С 17 октября 1947 года - командир 10-го Гвардейского ИАП ВВС ВМФ. С 4 марта 1949 года - заместитель командира 572-го ИАП по технике пилотирования и теории полёта. С июня 1952 года - в 717-й ИАД. Закончил службу в должности заместителя командира авиационно дивизии по лётной подготовке. С 1960 года - в отставке. В 1963 году переехал в город Даугавпилс, где работал до февраля 1988 года на мебельном комбинате. После выхода на пенсию работал слесарем КИП 5 разряда. Умер 4 ноября 2004 года в Москве, похоронен на Перепечинском кладбище.

Награждён орденами: Красного Знамени (12.06.1943, 03.10.1944, ...), Нахимова 2-й степени (10.04.1944), Отечественной войны 1-й степени (28.12.1946), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (трижды); медалями.