Родился 29 декабря 1921 года в городе Мичуринске (Мичуринский район Тамбовской области). С 3 января 1941 года в рядах Красной Армии, призван Мичуринским ГВК.   Окончил военную авиационную школу лётчиков.  Затем проходил переучивание на новую технику в 20-м ЗИАП (ВВС Сибирского военного округа).

С 12 марта 1943 года сержант С. Д. Шишкин в действующей армии.  Воевал в составе 183-го ИАП (2 июля 1944 года преобразован в 150-й Гвардейский ИАП). Прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Сражался на Воронежском, Степном и 2-м Украинском фронтах. Летал на Як-1, Як-7, Як-9 и Як-3.

К 9 мая 1945 года командир звена 150-го Гвардейского истребительного авиационного полка (13-я Гвардейскую истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус РСВГК, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант С. Д. Шишкин совершил 184 боевых вылета, провёл около 30 воздушных боёв, сбил лично 9 и в составе группы 5 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 11 августа 1960 года Гвардии подполковник С. Д. Шишкин - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (22.07.1943, 23.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (28.10.1944), Красной Звезды (30.12.1956); медалями, в том числе "За отвагу" (09.06.1943) и "За боевые заслуги" (17.05.1951).