Родился 12 февраля 1917 года в посёлке Верхняя Санарка (ныне Пластовский горсовет Челябинской области). Окончил школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) в Пласте, затем 3 курса педагогического техникума в городе Миасс. Работал учителем, занимался в аэроклубе. С 1936 года в рядах Красной Армии, в 1938 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. Служил там же лётчиком-инструктором, позднее командиром звена.

С июня 1942 года лейтенант А. П. Шишкин на фронтах Великой Отечественной войны в составе 434-го ИАП (22 ноября 1942 года преобразован в 32-й Гвардейский ИАП). Летал на Як-1, Як-7, Як-9 и Ла-5.

К августу 1943 года заместитель командира эскадрильи 32-го Гвардейского истребительного авиационного полка (3-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Брянский фронт) Гвардии капитан А. П. Шишкин совершил 132 боевых вылета, в 67 воздушных боях лично сбил 14 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1762).

С августа 1944 года - заместитель командира 63-го Гвардейского ИАП, где летал на Ла-7. 18 ноября 1944 года назначен командиром этого полка. К маю 1945 года Гвардии майор А. П. Шишкин совершил 216 боевых вылетов, в 72 воздушных боях сбил лично 20 самолётов противника. Сражался на Сталинградском, Донском, Калининском, Северо-Западном, Брянском, 1-м и 2-м Прибалтийском, 1-м Белорусском фронтах.

После окончания войны продолжал службу в ВВС СССР. В 1948 году принял командование 196-м истребительным авиационным полком. В начале 1949 года полк был перевооружён на новые реактивные истребители Ла-15. Самолет ещё не был принят на вооружение и войсковые испытания проводились на базе полка. 21 июля 1949 года Гвардии полковник А. П. Шишкин погиб в авиационной катастрофе. Похоронен в поселке городского типа Кубинка Московской области. Именем Героя названа школа, в которой он учился. В городе Пласт Челябинской области установлен его бюст.

Награждён орденами Ленина (23.10.1942, 28.09.1943), Красного Знамени (28.03.1944, 14.10.1944, ...), Александра Невского (31.07.1945), Отечественной войны 2-й степени (23.02.1943); медалями.

Список известных воздушных побед А. П. Шишкина:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
26.07.1942	1  Ме-109	Калач	Як-1
18.09.1942	1  Ме-109	юго-западнее станция Котлубань	Як-7
19.09.1942	1  Ю-88	станция Котлубань
20.09.1942	1  Ме-109	северо-западнее Сталинград
22.09.1942	1  Ме-109	южнее станция Котлубань
30.12.1942	1  Ме-109	южнее Великие Луки	Як-1
17.01.1943	1  Ме-109	Щукино
21.02.1943	1  Ме-109	Большой Стар
27.02.1943	1  ФВ-190	западнее Зуевы Горки	Як-9
14.03.1943	1  ФВ-190	Грушевидная роща - Семкина Горушка
15.03.1943	1  ФВ-190	западнее Кобылкино	Як-1
12.07.1943	1  Ю-87	Мелынь	Ла-5
22.07.1943	1  Хе-111	станция Золотарёво
23.07.1943	1  ФВ-190	Новоселенная
01.09.1943	1  ФВ-190	Свень
08.01.1944	1  Ю-87	Михали
10.03.1944	1  Ю-87	Борки
15.03.1944	1  Ю-87	озеро Шевино
15.09.1944	1  ФВ-190	Андрицены	Ла-7
16.09.1944	1  ФВ-190	Скубрас
Всего сбитых самолётов - 20 + 0;  боевых вылетов - 216;  воздушных боёв - 72.

Из материалов фронтовых лет:

Лётчики Гвардейского полка ("Красная Звезда", апрель 1944 г.)