Родился 14 (27) декабря 1915 года в деревне Бурохино (ныне Некрасовский район Ярославской области). Окончил среднюю школу и 2 курса Ивановского строительного техникума. Работал бухгалтером на кожевенном заводе в городе Ярославле. С 28 октября 1936 года в рядах Красной Армии. Служил матросом на Черноморском флоте. В 1937 окончил школу младших авиационных специалистов (город Севастополь). С мая 1938 года до ноября 1940 года служил стрелком-радистом в 5-й авиационной эскадрильи 40-го авиационного полка ВВС Черноморского флота, затем отправлен на учёбу: сначала - в военно-морское авиационное училище им. С. Леваневского на отделение стрелков-радистов (г. Николаев), оттуда переведён в город Ейск. В феврале 1942 года окончил Ейскую военную авиационную школу морских лётчиков, оставлен в ней инструктором.

С октября 1942 года сержант А. А. Шилков на фронтах Великой Отечественной войны в должности лётчика 2-й эскадрильи 3-го Гвардейского ИАП ВВС КБФ. В августе 1943 года назначен командиром звена, вскоре - заместителем командира эскадрильи, в ноябре 1944 года - командиром эскадрильи. Летал на ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7.

К маю 1944 года командир звена 3-го Гвардейского истребительного авиационного полка (1-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, ВВС Краснознамённого Балтийского флота) Гвардии лейтенант А. А. Шилков совершил 141 боевой вылет, провёл 32 воздушных боя, сбил лично 14 и в составе группы 2 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 4005).

К маю 1945 года командир эскадрильи 3-го Гвардейского ИАП (1-я Гвардейская ИАД, ВВС КБФ) Гвардии капитан А. А. Шилков совершил 190 боевых вылетов, в 40 воздушных боях сбил лично 19 и в составе группы 2 самолёта противника.

После окончания войны продолжал служить в морской авиации. В 1947 году окончил Высшие офицерские курсы авиации ВМФ. С октября 1947 года - командир эскадрильи 78-го ИАП ВВС Черноморского флота, с апреля 1948 года - начальник штаба и первый заместитель командира этого полка. С декабря 1949 года - начальник авиации 91-й ИАД ВВС Северного флота. С апреля 1951 года - заместитель командира 124-го Гвардейского ИАП ВВС Северного флота. Летал на реактивных истребителях МиГ-15 и МиГ-17. В 1956 году окончил авиационный факультет Военно-Морской академии. С октября 1956 года - заместитель начальника штаба истребительной авиации ПВО Черноморского флота. С мая 1957 года - начальник оперативно-разведывательного отделения - заместитель начальника штаба 4-й ИАД ВВС Черноморского флота.

В августе 1960 года Гвардии полковник А. А. Шилков уволен в запас по служебному несоответствию (за совершение уголовного преступления). 10 сентября 1960 года осуждён военным трибуналом Черноморского флота. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 января 1961 года лишён звания Героя Советского Союза. В октябре 1961 года досрочно освобождён, восстановлен в звании. Жил в городе Саки (Крым). Умер 9 апреля 1972 года.

Награждён орденами: Ленина (22.07.1944), Красного Знамени (19.01.1943, 02.10.1943, 10.04.1944, 30.04.1945, 05.11.1954), Красной Звезды (02.06.1951); медалями, в том числе: "За боевые заслуги" (05.11.1946), "За оборону Ленинграда" (1943), "За победу над Германией" (1945).

Список известных воздушных побед А. А. Шилкова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
12.01.1943	1  Ме-109	восточнее Манушкино	ЛаГГ-3
26.01.1943	1  ФВ-190	Синявино
27.01.1943	1  Ю-88	Цнигри
15.02.1943	1  Ме-109	северо-западнее Пушкин
	1  ФВ-190  (в паре)	Петро-Славянка
27.07.1943	1  ФВ-190  (в паре)	остров Готланд	Ла-5
02.08.1943	1  "Брюстер"	остров Сейскар
17.08.1943	1  Ме-109	остров Соммерс
31.08.1943	1  ФВ-190	остров Сейскар
14.02.1944	1  Ю-87	Тойла
07.03.1944	2  ФВ-190	Крекси
08.03.1944	1  ФВ-190	северная окраина Нарва
01.04.1944	1  ФВ-190	севернее Азери
02.04.1944	1  ФВ-190	Азери
13.05.1944	1  ФВ-190
07.07.1944	1  ФВ-190	остров Койвисто
07.08.1944	1  ФВ-190	банка Вигрунд
23.11.1944	2  ФВ-190	полуостров Церель	Ла-7
17.02.1945	1  ФВ-190	Либава
Всего сбитых самолётов - 19 + 2;  боевых вылетов - 190;  воздушных боёв - 40.

Из фотоматериалов разных лет:

Из материалов прессы военных лет:

Из материалов прессы послевоенных лет: