Родился 10 сентября 1915 года на станции Гжель (Раменский район Московской области). С 15 июля 1936 года в рядах Красной Армии, призван Таганским РВК (город Москва). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС.

С 22 июня 1941 года лейтенант А. А. Шигаев в действующей армии. Воевал в составе 233-го ИАП (6-й ИАК ПВО, 286-я ИАД, 234-я ИАД). Сражался на Московском ПВО, Западном, Брянском, Центральном и 1-м Белорусском фронтах. Летал на И-16, МиГ-3, Як-7, Як-9 и Як-3.

К 9 мая 1945 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе 233-го истребительного авиационного полка (234-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) капитан А. А. Шигаев совершил 305 боевых вылетов, в 39 воздушных боях сбил лично 11 и в составе пары 1 самолёт противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 24 февраля 1947 года капитан А. А. Шигаев - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (21.07.1943, 04.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (10.08.1943), Красной Звезды (31.07.1942); медалями.