Родился 15 марта 1914 года в деревне Гуньково (Чернский район Тульской области). С 24 июня 1941 года в рядах Военно-Морского Флота, призван Белгородском РВК (Курская область). Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 22 сентября 1941 года младший лейтенант А. И. Шапочкин в действующей армии.  По январь 1942 года воевал в должности пилота 1-й эскадрильи 11-го ШАП ВМФ (ВВС Черноморского Флота), летал на И-5 и И-153. 20 ноября 1941 года представлялся к званию Героя Советского Союза за выполнение 45 боевых вылетов на штурмовку живой силы и техники противника, включая 25 вылетов - ночью. Но не получил его (награждён орденом Красного Знамени). С апреля 1943 года - командир звена 3-й эскадрильи 25-го ИАП ВМФ (62-я ИАБР / 4-я ИАД ЧФ), затем - заместитель командира 2-й эскадрильи. Летал на ЛаГГ-3 и Як-9.

К ноябрю 1944 года заместитель командира эскадрильи 25-го истребительного авиационного полка (4-я истребительная авиационная дивизия, ВВС Черноморского флота) капитан А. И. Шапочкин совершил 350 боевых вылетов, в 27 воздушных боях сбил лично 9 самолётов противника. 7 декабря 1944 года выбыл из полка по состоянию здоровья.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС ВМФ. С 9 мая 1960 года подполковник А. И. Шапочкин - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (08.12.1941, 14.04.1944), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (25.05.1945), медалями, в том числе "За боевые заслуги" (30.12.1956).