Родился 8 мая 1923 года в городе Атхарске (Татарстан). С 27 ноября 1940 года в рядах Красной Армии, призван Красноуфимским РВК (Свердловская область). Окончил военную авиационную школу лётчиков, затем проходил переучивание на новую технику в 25-м ЗИАП ВВС Закавказского фронта.

С 20 января 1943 года младший лейтенант А. Б. Султан-Галиев в действующей армии. Воевал в составе 164-го ИАП (295-я ИАД). Прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Сражался на Закавказском, Юго-Западном и 3-м Украинском фронтах. Летал на Ла-5.

В июле 1944 года командир звена 164-го истребительного авиационного полка (295-я истребительная авиационная дивизия, 9-й смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) старший лейтенант А. Б. Султан-Галиев был отправлен в госпиталь, на фронт больше не вернулся. Всего совершил 252 боевых вылета, в воздушных боях сбил лично 13 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 11 апреля 1959 года подполковник А. Б. Султан-Галиев - в отставке.

Награждён орденами: Красного Знамени (21.10.1943), Отечественной войны 1-й степени (20.03.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (17.08.1943, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (30.04.1954).