Родился 15 ноября 1919 года в городе Новороссийске (Краснодарский край). Окончил среднюю школу и аэроклуб. В мае 1940 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Евпаторийским РВК (Евпаторийский район Крымской АССР). В 1941 году окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 20 июля 1941 года сержант А. П. Солтысов на фронтах Великой Отечественной войны в составе 67-го ИАП (21-я САД ВВС Южного фронта и 6-й ИАК Московской зоны ПВО), летал на И-16 и "Харрикейне". С мая 1942 года воевал в 429-м ИАП (6-й ИАК Московского фронта ПВО), продолжая летать на "Харрикейне". С июня 1942 года сражался в 287-м ИАП (Брянский, Сталинградский, Воронежский, Волховский фронты). Летал на "Харрикейне", Як-7 и Як-1. С ноября 1943 года находился на Курсах усовершенствования штурманского состава. С июня 1944 года служил в Управлении 269-й ИАД (Ленинградский, 3-й Прибалтийский, 2-й Прибалтийский, 2-й Белорусский фронты). Летал на Як-1, Як-9 и Як-3.

К маю 1945 года старший штурман 269-й истребительной авиационной дивизии (4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) капитан А. П. Солтысов совершил около 240 боевых вылетов, в 36 воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 5 личных и 1 групповой победах).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. В запас вышел в звании подполковника. Жил в городе Минске (Республика Беларусь). Умер 1 июня 2011 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (23.10.1942, 30.03.1943), Отечественной войны 1-й степени (14.10.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (08.06.1945, 26.10.1955); медалями.