Родился 1 мая 1919 года в селе Кыэкен (ныне Шилкинского района Читинской области). Окончил 7 классов. Работал счетоводом в Чите и учился в городском аэроклубе. С 1938 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Батайскую военную авиационную школу пилотов. Служил в строевых частях ВВС.

С июня 1941 года младший лейтенант А. П. Соболев на фронтах Великой Отечественной войны в должности лётчика 161/425-го ИАП (Западный фронт), летал на И-16 и МиГ-3. В октябре 1941 года направлен командиром звена в 10-й ИАП (Юго-Западный и Калининский фронты), летал на МиГ-3 и ЛаГГ-3. С июля 1942 года - командир эскадрильи во 2-м Гвардейском ИАП (Калининский, Волховский, Степной, Брянский, 1-й Прибалтийский, 3-й Белорусский, 1-й Украинский фронты), С 6 мая 1943 года командовал этим полком, освоил ещё Ла-5 и Ла-7. Некоторое время летал на именном самолёте Ла-5 "Шилкинский старатель".

К июню 1943 года командир 2-го Гвардейского истребительного авиационного полка (215-я истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 1-я Воздушная армия, Западный фронт) Гвардии капитан А. П. Соболев совершил 322 боевых вылета, провёл 46 воздушных боёв, сбил лично 9 и в составе группы не менее 5 самолётов противника (в материалах наградного листа говорится о 11 личных и 7 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1069).

К маю 1945 года Гвардии подполковник А. П. Соболев совершил 345 боевых вылетов, провёл около 60 воздушных боёв, в которых сбил лично 17 и в составе группы 8 самолётов противника (в материалах последнего наградного листа говорится о 15 личных и 9 групповых победах).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. В 1947 году окончил Высшие лётно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава, осваивал реактивную технику. 10 февраля 1958 года Гвардии полковник А. П. Соболев погиб при выполнении контрольного полёта. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.

Награждён орденами: Ленина (24.08.1943), Красного Знамени (19.02.1943, 29.07.1943), Кутузова 3-й степени (08.08.1944), Отечественной войны 1-й степени (28.05.1945), Красной Звезды (10.08.1941, ...); медалями.

Список известных воздушных побед А. П. Соболева:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
10.07.1941	1  Хе-111  (в паре)	район Орши	И-16
12.12.1941	1  Ю-88	Калининский фронт	МиГ-3
07.01.1942	1  Ю-88
21.03.1942	1  Ме-110	Мясной Бор	ЛаГГ-3
	1  Ме-110  (в группе)
13.04.1942	1  Ме-109  (в группе)	район Замошье
22.04.1942	1  Ме-109
	1  Ю-88  (в группе)
15.05.1942	1  Ме-109  (в группе)
14.01.1943	1  Ме-109	Синявино	Ла-5
22.01.1943	1  Ме-109	южнее Назия
23.01.1943	1  Ю-87	юго-западнее Рабочий посёлок № 6
27.01.1943	1  Ме-109	Рабочий посёлок № 8
23.02.1943	1  ФВ-190	южнее Синявино
16.07.1943	1  ФВ-190	южнее Поляково
17.07.1943	1  Ю-87	Каменка
	1  Ю-88
	1  ФВ-190
06.08.1943	1  ФВ-190  (в паре)	Абалмасово
16.08.1943	1  ФВ-190	район Белгорода
Всего сбитых самолётов - 17 + 8  [14 + 6];  боевых вылетов - 345;  воздушных боёв - около 60.

За отсутствием полных данных из штабных документов за период 1941-1942 гг. итоговый боевой счёт сформирован на основе промежуточных результатов боевой работы пилота из отчётных документов (7 побед лично и 7 в группе на 12.01.1943).

Из материалов прессы военных лет:

Из фотоматериалов военных лет: