Родился 24 апреля 1918 года в селе Большое Кузьмино (ныне не существует, территория города Пушкин в черте Санкт-Петербурга). С 1920 года жил в Петрограде (ныне Санкт-Петербург). В 1934 году окончил 7 классов средней школы, в 1936 году - школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал слесарем-инструментальщиком на заводе "Электросила". Без отрыва от производства окончил планерную школу и аэроклуб. С декабря 1937 года в рядах Красной Армии. В 1938 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в частях ВВС Сибирского военного округа и на Дальнем Востоке. С 1940 года - командир звена.

С 7 апреля 1943 года старший лейтенант Л. Н. Слизень на фронтах Великой Отечественной войны в составе 15-го ИАП (заместитель командира и командир эскадрильи). Летал на Як-1, Як-9 и Як-3. 6 мая 1943 года сбит в воздушном бою. Получив ожоги лица и ранение осколком в ногу, покинул самолёт с парашютом. Около 2 месяцев лечился в госпитале Кисловодска (Ставропольский край). 23 января 1944 года таранил вражеский истребитель, сам спасся на парашюте.

К 18 февраля 1945 года командир эскадрильи 15-го истребительного авиационного полка (278-я истребительная авиационная дивизия, 3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) майор Л. Н. Слизень совершил 222 боевых вылета, в 95 воздушных боях сбил лично 17 и в составе группы 2 самолёта противника. За эти подвиги представлен к высшей награде страны.

К маю 1945 года совершил 269 боевых вылетов, провёл 72 воздушных боя, в которых сбил 21 самолёт противника лично и 2 в группе. Воевал на Северо-Кавказском, Южном, 4-м Украинском, 3-м Белорусском, 1-м Белорусском фронтах. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7033).

После окончания войны продолжал службу в ВВС. Был штурманом истребительного авиаполка, помощником командира и штурманом истребительной авиадивизии (в Группе Советских войск в Германии, в Ленинградском и Закавказском военных округах). С 1952 года - лётчик-инспектор по технике пилотирования 236-й ИАД (в Закавказском военном округе). 13 января 1953 года подполковник Л. Н. Слизень погиб в ночном учебно-тренировочном полёте на МиГ-15УТИ в районе города Ленинакан (ныне город Гюмри, Армения). Похоронен в Санкт-Петербурге на Большеохтинском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (11.12.1943, 22.05.1944, 18.01.1945), Александра Невского (02.10.1943), Отечественной войны 2-й степени (06.05.1943); медалями.