Родился 29 июня 1917 года в деревне Кота (ныне Марьинский сельсовет Касторенского района Курской области). В 1929 году с семьёй переехал в город Серпухов (Московская область). Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал помощником мастера ткацкого отдела Серпуховской прядильно-ткацкой фабрики, одновременно учился в городском аэроклубе. С 7 января 1939 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов и оставлен в ней лётчиком-инструктором. С началом Великой Отечественной войны продолжал готовить кадры для фронта.

С сентября 1942 года младший лейтенант Н. С. Сивцов в действующей армии. Воевал в составе 867-го ИАП (24 августа 1943 года преобразован в 107-й Гвардейский ИАП). Сражался на Сталинградском и Юго-Западном фронтах. Летал на Як-1 и Як-7. 6 мая 1943 года легко ранен в обе ноги.

К августу 1943 года заместитель командира, он же штурман эскадрильи 867-го истребительного авиационного полка (207-я истребительная авиационная дивизия, 3-й смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, Юго-Западный фронт) старший лейтенант Н. С. Сивцов совершил 78 боевых вылетов, провёл 34 воздушных боя, в которых сбил лично 17 и в составе пары 2 самолёта противника (в наградном листе говорится о 22 победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза.

23 сентября (по данным сайта "Мемориал"- 21 сентября) 1943 года не вернулся из боевого вылета в район Днепропетровска и зачислен пропавшим без вести. К тому времени совершил около 100 боевых вылетов, провёл 40 воздушных боёв, сбил лично 20 и в составе пары 2 самолёта противника. Именем Героя названа улица в городе Серпухове.

Награждён орденами: Ленина (08.09.1943), Красного Знамени (28.02.1943, 20.06.1943), Красной Звезды (21.01.1943); медалями.