Родился 14 января 1920 года в селе Вировка (ныне Конотопский район Сумской области Украины). Окончил среднюю школу. С 22 февраля 1940 года в рядах Красной Армии, призван Конотопским РВК. Весной 1941 года окончил Ворошиловоградскую военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 11-й ЗИАП Северо-Кавказского военного округа (город Ростов-на-Дону), где проходил формирование 181-й ИАП.

С 19 августа 1941 года младший лейтенант А. Н. Сайко в действующей армии: в должности пилота 2-й эскадрильи 181-го ИАП. Боевую работу начал на Южном фронте, летая на ЛаГГ-3. С 24 августа 1941 года воевал на Юго-Западном фронте (в составе 44-й ИАД), с 27 августа 1941 года - снова на Южном фронте (в составе ВВС 6-й Армии), с 7 сентября 1941 года - снова на Юго-Западном фронте (в составе 64-й ИАД и ВВС 6-й Армии).15 мая 1942 года был сбит в воздушном бою, ранен в руку. Из горящеего самолёта сумел спастись на парашюте (который раскрылся у самой земли).

19 мая 1942 года над аэродромом Бригадировка (Изюмский район Харьковской области Украина) младший лейтенант А. Н. Сайко в лобовой атаке левым крылом таранил истребитель Ме-109. В тот день, он вылетел в составе 6 ЛаГГ-3 на прикрытие с воздуха колонны танков в районе города Изюма. После возвращения с задания вместе с ведомым прикрывал посадку товарищей. Внезапно появилась пара Me-109. Сайко развернулся и пошёл в лобовую атаку. В последний момент немец попытался отвернуть в сторону, но не успел. От удара у "Мессера" отлетело крыло, пилот попытался спастись на парашюте, но тот не раскрылся (немецкий лётчик упал на стоянку самолётов и разбился). Самолёт А. Н. Сайко с повреждённой консолью тоже начал падать. С большим трудом лётчику удалось выровнять его у самой земли и совершить посадку.

23 мая 1942 года снова был сбит в воздушном бою и ранен, снова сумел спастить на парашюте. 5 июня 1942 года младший лейтенант А. Н. Сайко был представлен к званию Героя Советского Союза, но не получил его (награждён орденом Ленина).

В июне 1942 года был направлен в 929-й ИАП, который входил в состав 8-й Воздушной армии Юго-Западного фронта и боевой работы не вёл, личный состав осваивал истребители Як-1. Лишь 22 июля 1942 года приступил к боевой работе на Сталинградском фронте (в составе 220-й ИАД, 8-й Воздушной армии). 24 августа 1942 года полк был отправлен в тыл: в 13-й ЗИАП Приволжского военного округа (город Кузнецк, Пензенской области). А лейтенант А. Н. Сайко вернулся в 181-й ИАП (19 августа 1944 года преобразован в 180-й Гвардейский ИАП), который во 2-м ЗИАП Московского военного округа (станция Сейма Горьковской области проходил переформирование и переучился на новую авиатехнику.

23 октября 1942 года приступил к боевой работе на Калининском фронте (в составе 235-й ИАД, 3-й Воздушной армии), летая на Ла-5. С 8 ноября 1942 года сражался на Сталинградском фронте (в составе 8-й Воздушной армии), с 3 января 1943 года - уже на Южном фронте. С 5 марта 1943 года полк находился в резерве: в тыловой полосе Юго-Западного фронта и (с 30.04.1943) Степном военном округе. 1 июня 1943 года приступил к боевой работе на Северо-Кавказском фронте (в составе 4-й Воздушной армии). К тому времени капитан А. Н. Сайко был уже командиром эскадрильи. С 21 июля 1943 года воевал на Воронежском фронте (в составе 2-й Воздушной армии). С 24 августа 1943 года полк находился в тыловой полосе фронта и занимался по плану учебно-боевой подготовки. С 4 октября 1943 года возобновил боевую работу на Воронежском фронте (20.10.1943 переименован в 1-й Украинский фронт), с 5 августа 1944 года - на 4-м Украинском фронте (в составе 8-й Воздушной армии). К осени 1944 года Гвардии капитан А. Н. Сайко был уже помощником командира по ВСС. С 27 сентября 1944 года полк проходил последнее переформирование (в Дрогобычской области). Затем продолжил боевую работу, летая на Ла-5.

К 9 мая 1945 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе 180-го Гвардейского истребительного авиационного полка (15-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 8-я Воздушная армия, 4-й Украинский фронт) Гвардии капитан А. Н. Сайко совершил 338 боевых вылетов, в 34 воздушных боях сбил лично 7 и в составе группы 3 самолёта противника (в последнем наградном листе говорится о 9 личных победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. 1 мая 1947 года участвовал в воздушном параде над Красной площадью. С 16 ноября 1960 года Гвардии подполковник А. Н. Сайко - в запасе. Умер в 1984 году.

Награждён орденами: Ленина (19.07.1942), Красного Знамени (07.02.1944, 31.10.1944, 16.05.1947, 20.09.1947), Александра Невского (28.05.1945), Красной Звезды (26.10.1955, 23.01.1957), "Чехословацкий Военный крест 1939-1945 гг".; медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).