Родился 28 февраля 1919 года в деревне Дача Леймана (Сафоновский район Смоленской области). С 25 декабря 1937 года в рядах Красной Армии, призван Московский ГВК. В 1939 году окончил Борисоглебское военное авиационное училище лётчиков. Служил в строевых частях ВВС (89-й ИАП, Киевский особый военный округ).

С 22 июня 1941 года младший лейтенант Н. И. Савин на фронтах Великой Отечественной войны в составе 17-го ИАП (ВВС Юго-Западного, Брянского и Воронежского фронтов), летал на И-153 и ЛаГГ-3. 15 октября 1941 года при штурмовке вражеской колонны был сбит зенитным огнём, произвёл вынужденную посадку. Его ведомый, Ф. Ф. Архипенко (будущий Герой Советского Союза) попытался посадить свой самолёт рядом и вывезти товарища, но подломил стойки шасси. Оба лётчика стали пробираться к своим и 30 октября 1941 года благополучно вернулись в полк. С ноября 1943 года воевал в 19-м ИАП (19 августа 1944 года преобразован в 176-й Гвардейский ИАП), был ведомым у командира эскадрильи А. Я. Баклана. Летал на Ла-5 и Ла-7. Сражался на 1-м Украинском и 1-м Белорусском фронтах.

К 9 мая 1945 года заместитель командира 1-й эскадрильи 176-го Гвардейского истребительного авиационного полка (3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии капитан Н. И. Савин совершил 356 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 14 и в составе группы 1 самолёт противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. 6 ноября 1945 года Гвардии капитан Н. И. Савин ехал на мотоцикле и был сбит автомашиной, 10 ноября умер от ран в госпитале.

Награждён орденами: Ленина (06.11.1941), Красного Знамени (25.07.1944, 12.08.1945), Отечественной войны 1-й степени (30.04.1945).