Родился 22 июля 1918 года в селе Гостешево (ныне Жуковский район Калужской области). До 1932 года жил в селе Гостешево, где окончил 4 класса; для продолжения учёбы в 1932 году переехал в город Серпухов, где окончил 7 классов, в 1935 году поступил в ФЗУ на Климовский машиностроительный завод (станция Гривно); в 1936 году, после окончания ФЗУ, работал токарем на заводе. В 1936 году поступил в планерную школу при Подольском аэроклубе. В 1938 году окончил аэроклуб. С декабря 1939 года в рядах Красной Армии. По путёвке комсомола был направлен в Качинскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в 1940 году. Служил на Дальнем Востоке.

С июля 1941 года младший лейтенант Е. П. Савельев на фронтах Великой Отечественной войны в составе 6-го истребительного авиационного полка, летал на И-16. В августе 1941 года был сбит в воздушном, до декабря 1941 года находился на излечении в госпиталях Москвы и Казани. С апреля 1942 года воевал в 814-м ИАП (25 августа 1943 года преобразован в 106-й Гвардейский ИАП). Летал уже на "Харрикейне", Як-1, Як-7 и Як-9.

К концу октября 1943 года заместитель командира эскадрильи 106-го Гвардейского истребительного авиационного полка (11-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант Е. П. Савельев совершил 244 боевых вылета, в воздушных боях сбил лично 11 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2832).

К маю 1945 года Гвардии капитан Е. П. Савельев совершил более 250 боевых вылетов, провёл около 60 воздушных боёв, в которых сбил лично 12 самолётов противника. Сражался на Юго-Западном, Воронежском и 3-м Украинском фронтах. Участник Парада Победы 24 июня 1945 года на Красной площади в Москве.

После войны продолжал служить в ВВС СССР. В 1949 году окончил Высшие лётно-тактические КУОС, в 1955 году - Военно-Воздушную академию. Был начальником штаба авиационной дивизии, преподавателем Военно-Воздушной академии. С 1969 года Гвардии полковник Е. П. Савельев - в запасе. Жил в городе Подольске. В 1970 - 1972 гг. работал заместителем директора индустриального техникума, с 1973 года - директором Подольской художественной мастерской. Умер 14 июня 2004 года. Похоронен в Подольске на Аллее Героев городского кладбища. На доме где жил Герой, установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (04.02.1944), Красного Знамени (26.03.1943, 01.09.1943, 22.02.1968), Отечественной войны 1-й степени (24.04.1945, 06.04.1985), Красной Звезды (30.04.1954); медалями.