Родился 15 июля 1919 года на станции Алмазная (ныне город Луганской области Украины). Окончил 8 классов. Работал слесарем на Всесоюзной сельскохозяйственной выставке в Москве. В 1939 году призван в ряды Красной Армии, по комсомольской путёвке направлен в Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков, которую окончил в 1940 году. Служил в Ленинградском военном округе.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант А. П. Савченко на фронтах Великой Отечественной войны. По сентябрь 1941 года сражался в составе 191-го ИАП (54-я истребительная авиационная дивизия, ВВС Ленинградского фронта), летал на И-16. В марте 1942 года направлен командиром звена в 127-й ИАП (ВВС 54 армии Ленинградского фронта), где освоил ещё и "Яки" (Як-1, Як-7, Як-9).

К 10 июля 1943 года командир эскадрильи 127-го истребительного авиационного полка (282-я истребительная авиационная дивизия, 6-й смешанный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, Центральный фронт) капитан А. П. Савченко совершил 424 боевых вылета, провёл 64 воздушных боя, в которых сбил лично 11 и в составе группы 12 самолётов противника (в материалах наградного листа говорится о 11 личных и 15 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

К маю 1945 года помощник командира 127-го истребительного авиационного полка по воздушно-стрелковой службе (282-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия) капитан А. П. Савченко совершил 493 боевых вылетов, провёл 80 воздушных боёв, сбил 14 самолётов противника лично и 12 в составе группы. Сражался на Северном, Ленинградском, Юго-Западном, Центральном, Белорусском, 1-м Белорусском фронтах.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В 1949 году окончил Высшие лётно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава. Служил командиром 741-го Гвардейского истребительного авиационного полка. С 1954 года подполковник А. П. Савченко - в запасе. Жил в городе Ростов-на-Дону, работал инженером в тресте "Стройконструкция". Умер 8 апреля 1988 года.

Награждён орденами: Ленина (04.02.1944), Красного Знамени (29.10.1941, 03.05.1942, 01.01.1943), Отечественной войны 1-й степени (19.09.1944, 11.03.1985); медалями.