Родился 15 октября 1915 года в посёлке Баулино (ныне Раменский район Московской области). Окончил 8 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) при Московском автомобильном заводе, освоил рабочую профессию термиста. С весны 1934 года Алексей работал на машиностроительном заводе "Новое Сормово" (город Горький, ныне - Нижний Новгород). С сентября 1934 года в рядах Красной Армии. По комсомольской путёвке направлен в 9-ю объединённую военную школу лётчиков и лётчиков-наблюдателей (город Харьков), которую окончил в 1937 году и оставлен там же инструктором-лётчиком.

С 7 июля 1941 года старший лейтенант А. Ф. Рязанцев на фронтах Великой Отечественной войны в составе 160-го резервного авиаполка, летал на И-16. В том же месяце направлен заместителем командира 3-й эскадрильи в 296-й ИАП (Южный фронт), где продолжал летать на И-16. 20 августа 1941 года тяжело ранен в воздушном бою (потерял большой и средний палец правой руки). После лечения в госпитале признан негодным к лётной работе, но вернулся в свой полк и продолжал летать.

В сентябре 1941 года переведён командиром эскадрильи в 297-й ИАП (2 июля 1944 года преобразован в 179-й Гвардейский ИАП). Летал на ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7. 23 августа 1942 года в воздушном бою сбит, снова ранен в правую руку. Во время вынужденной посадки повредил позвоночник и 12 суток находился без сознания. Несколько месяцев провел в госпиталях, но снова вернулся в строй.

К сентябрю 1944 года штурман 179-го Гвардейского истребительного авиационного полка (14-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии майор А. Ф. Рязанцев совершил 154 боевых вылета, провёл 45 воздушных боёв, сбил лично 15 и в составе пары 1 самолёт противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 4926).

К маю 1945 года выполнил 155 боевых вылетов и провёл 47 воздушных боёв (число побед не изменилось). Воевал на Южном, Юго-Западном, Сталинградском, Брянском, Центральном, Воронежском, Степном, 2-м Украинском и 1-м Белорусском фронтах.

В июле 1945 года демобилизован. С 1948 года работал командиром звена в Гражданском Воздушном Флоте (город Станислав, ныне - Ивано-Франковск), летал на По-2. С 1948 года - командир авиаотряда. С сентября 1951 года - слушатель партийной школы ГВФ (город Ленинград, ныне - Санкт-Петербург). С 1954 года - командир авиаотряда в Ворошиловграде (ныне - Луганск). В том же году признан негодным к лётной службе и переведён на должность начальника службы движения в аэропорту. В 1965 году заочно окончил педагогический институт. С 1977 года - на пенсии. Умер 31 марта 1984 года, похоронен в городе Луганске.

Награждён орденами: Ленина (23.02.1945), Красного Знамени (19.04.1943, 22.07.1943, 26.10.1943), Отечественной войны 1-й степени (14.10.1944); медалями.