Родился 19 ноября 1919 года в городе Чернигове (Украина). Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) в 1937 году. Работал слесарем на автозаводе "ЗИЛ", окончил аэроклуб. С декабря 1937 года в рядах Красной Армии. В 1938 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков. Перед войной работал командиром звена в одной из авиационных школ.

С мая 1942 года лейтенант Б. М. Ривкин на фронтах Великой Отечественной войны в составе 237-го ИАП (в феврале 1943 года преобразован в 54-й Гвардейский ИАП), летал на Як-1 и "Аэрокобре". Отличился в боях за Крым, под Сталинградом и на Курской Дуге.

К июню 1943 года командир эскадрильи 54-го Гвардейского истребительного авиационного полка (1-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, Центральный фронт) Гвардии капитан Б. М. Ривкин совершил 176 боевых вылетов, в 95 воздушных боях сбил лично 12 и в составе группы не менее 3 самолётов противника (в материалах наградного листа говорится о 12 личных и 7 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1743).

В 1944 году назначен заместителем командира 54-го Гвардейского истребительного авиационного Керченского полка. К концу войны Гвардии майор Б. М. Ривкин совершил 230 боевых вылетов и провёл 100 воздушных боёв (число побед не изменилось).

После войны продолжал службу в ВВС СССР. В 1954 году окончил авиационные курсы усовершенствования офицерского состава, в 1960 году - Военно-Воздушную академию. С 1960 года заместитель начальника, с 1963 года - начальник Ейского высшего военного авиационного училища лётчиков. С 1968 года - заместитель командующего ВВС Северо-Кавказского военного округа. С 11 августа 1975 года генерал-майор авиации Б. М. Ривкин - в запасе. Жил в городе Ростов-на-Дону. Умер 4 декабря 2004 года, похоронен на Северном кладбище. В 2005 году именем Героя названа улица в Первомайском районе Ростова-на-Дону.

Награждён орденами: Ленина (24.08.1943), Красного Знамени (трижды), Александра Невского (05.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (07.12.1942, 11.03.1985), Красной Звезды, "За службу Родине в Вооружённых Силах СССР" 3-й степени; медалями, в том числе "За оборону Сталинграда" (22.12.1942).