Родился 4 декабря 1918 года в деревне Норино (ныне Клепиковский район Рязанской области). В 1928 году семья переехала в Подмосковье; жили на железнодорожной станции Подлипки Дачные (ныне в черте города Щелково), с 1932 года - в городе Балашиха (Московская область), в 1936 году окончил неполную среднюю школу. Поступил в учебный комбинат при заводе. Окончив его, работал слесарем-модельщиком. Учился в Московском областном аэроклубе. В 1937 году добровольно вступил в ряды Красной Армии. В 1940 году окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков. Был направлен в 87-й ИАП (16-я САД), который базировался на аэродроме Умань (Киевский особый военный округ). В апреле 1941 года полк был перебазирован к западной границе.

С июня 1941 года лейтенант Н. П. Пушкин на фронтах Великой Отечественной войне в составе 23-го ИАП и (с июля) 92-го ИАП. Летал на И-153 и И-16. С марта 1942 года сражался в составе 796-го ИАП, летал на ЛаГГ-3. В апреле 1942 года направлен в 10-й ИАП, где продолжал летать на ЛаГГ-3. С июля 1942 года - во 2-м Гвардейском ИАП на должности командира эскадрильи. С конца 1942 года летал на Ла-5.

К маю 1943 года командир эскадрильи 2-го Гвардейского истребительного авиационного полка (215-я истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 3-я Воздушная армия, Калининский фронт) Гвардии старший лейтенант Н. П. Пушкин совершил 380 боевых вылетов, провёл 52 воздушных боя, лично сбил 7 и в составе группы 9 самолётов противника (информация из наградного листа, не подтверждается оперативными документами). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1115).

С сентября 1943 года лётчики эскадрильи летали на самолётах "Монгольский арат", построенных на средства трудящихся Монголии. В декабре 1943 года состоялась встреча лётчиков эскадрильи с членами монгольской правительственной делегации. Многие из них были награждены монгольским орденом Боевого Красного Знамени, в том числе и командир эскадрильи.

С ноября 1943 года - заместитель командира 2-го Гвардейского ИАП по лётной подготовке. В мае 1944 года переведён на аналогичную должность в 482-й ИАП. С декабря 1944 года - в составе 41-го Гвардейского ИАП (8-я Гвардейская ИАД, 5-й ИАК, 1-й Украинский фронт).

К маю 1945 года Гвардии майор Н. П. Пушкин совершил 490 боевых вылетов, провёл 75 воздушных боёв, сбил лично 7 и в составе группы 9 самолётов противника. Сражался на Волховском, 3-м Белорусском, 1-м Украинском, Западном фронтах. Участник исторического Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади.

После войны продолжал службу в ВВС. В начале 1946 года направлен на Высшие лётно-тактические КУОС (город Липецк). В начале 1947 года назначен командиром авиационного полка. В 1951 году поступил в Военно-Воздушную академию. После её окончания в 1955 году, назначен на должность заместителя командира авиационного соединения. В 1960 году по состоянию здоровья перешёл на штабную работу в одно из авиационных объединений. С октября 1966 года Гвардии полковник Н. П. Пушкин - в запасе, затем в отставке. С 1967 года жил в городе Балашиха (Московская область). Работал в бригаде лётных испытаний при заводе "Рубин", вскоре бригада была преобразована в отдел лётных испытаний (отдел № 260). Умер 23 октября 2007 года. Похоронен на Новском кладбище в Балашихе.

Награждён орденами: Ленина (02.09.1943), Красного Знамени (13.07.1942, 19.02.1943), Отечественной войны 1-й степени (12.08.1943, 11.03.1985), Красной Звезды; медалями, монгольским орденом Боевого Красного Знамени.