Родился в 1920 году в селе Торомка (Таборинский район Свердловской области). С 1941 года в рядах Красной Армии, призван Свердловским ГВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 19 июля 1943 года младший лейтенант А. Р. Прудников на фронтах Великой Отечественной войны в составе 821-го ИАП. Первые 15 боевых вылетов совершил на "Спитфайре", затем пересел на "Аэрокобру".

К маю 1945 года командира звена 821-го истребительного авиационного полка (190-я истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) старший лейтенант А. Р. Прудников совершил 189 боевых вылетов, в 27 воздушных боях сбил лично 4 и в составе пары 1 самолёт противника.

Участник Советско-Японской войны 1945 года в составе того же 821-го ИАП. Летал на "Кингкобре", воздушных побед не имел.

Участник войны в Корее с февраля по июль 1952 года в составе 821-го ИАП (64-й ИАК). Летал на МиГ-15, в воздушных боях сбил лично 3 самолёта противника.

Вернувшись в СССР продолжал служить в ВВС на различных должностях. В конце 1950-х годов подполковник А. Р. Прудников командовал 732-м ИАП. После выхода в запас, работал экскурсоводом в катакомбах Мемориала партизанской славы села Нерубайское.

Награждён орденами: Красного Знамени (09.10.1944, 01.11.1944, ...), Александра Невского (02.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (12.07.1944, 03.03.1945), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (дважды); медалями.