Родился 15 марта 1915 года в селе Епифань (ныне посёлок городского типа Кимовского района Тульской области). Окончил 7 классов, школу ФЗУ завода "Серп и молот" и аэроклуб в Москве. Работал бригадиром электромонтёров на заводе. Участник строительства ДнепроГЭС, металлургического комбината "Запорожсталь". Окончив аэроклуб, стал лётчиком-инструктором на общественных началах, обучил лётному делу 12 человек. С 8 января 1938 года в рядах Красной Армии, призван Сталинским РВК (города Москвы). В том же году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в составе 4-го ИАП (ВВС Белорусского Особого военного округа). Участник похода советских войск в Западную Украину и Западную Белоруссию в сентябре 1939 года.

Участник Советско-Финляндской войны с 7 января по 13 марта 1940 года в составе 4-го ИАП (ВВС 8-й Армии, Северо-Западный фронт). Совершил 96 боевых вылетов на И-15бис, воздушных побед не имел. Награждён медалью "За отвагу".

С 22 июня 1941 года лейтенант А. А. Постнов в действующей армии: в составе 4-го ИАП (20-я САД), летал на И-16. С сентября 1941 года воевал уже в 88-м ИАП (14 апреля 1944 года преобразован в 159-й Гвардейский ИАП). Летал на И-16, ЛаГГ-3 и Ла-5.

К июлю 1943 года командир эскадрильи 88-го истребительного авиационного полка (229-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, Северо-Кавказский фронт) старший лейтенант А. А. Постнов совершил 503 боевых вылета, в 158 воздушных боях сбил лично 3 и в составе группы 4 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1153).

К 9 мая 1945 года заместитель командира 159-го Гвардейского истребительного авиационного полка (229-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) Гвардии майор А. А. Постнов выполнил около 700 боевых вылетов, в 172 воздушных боях сбил лично 9 и в составе группы 4 самолёта противника. Участник Парада Победы на Красной Площади в Москве 24 июня 1945 года.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС: командовал авиационным полком в Ярославле, авиационной дивизией в Клину. В 1957 году окончил Военную академию Генерального штаба, после чего командовал авиационным корпусом в Рязани, потом в Ржеве. С 4 ноября 1959 года генерал-майор авиации А. А. Постнов - в запасе, а с 1970 года - в отставке. Умер 4 января 2013 года. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.

Награждён орденами: Ленина (24.08.1943), Красного Знамени (23.02.1942, 09.09.1942, 04.09.1943, 22.02.1955), Отечественной войны 1-й степени (28.04.1944, 22.02.1945, 11.03.1985), Красной Звезды (03.11.1953, 29.04.1954); медалями, в том числе "За отвагу" (19.05.1940) и "За боевые заслуги" (24.06.1948).