Родился 21 декабря 1919 года в посёлке Троицкий (ныне входит в состав города Михайловка Михайловского района Волгоградской области). Окончил среднюю школу. С 22 августа 1937 года в рядах Красной Армии, призван Калининским РВК (Сталинградской области). Окончил Сталинградское военное авиационное училище лётчиков. Служил в строевых частях ВВС Киевского Особого военного округа.

С 22 июня 1941 года лейтенант Н. А. Полеев в действующей армии. До октября 1941 года воевал в составе 248-го ИАП (44-я ИАД, ВВС Юго-Западного фронта), летал на И-153. С июля по 24 августа 1942 года - командир звена в 13-м ИАП (235-я ИАД, ВВС Сталинградского фронта), где летал на ЛаГГ-3. С октября 1942 года - командир звена в 486-м ИАП (106-я ИАД ПВО и 279-я ИАД). Сражался на Северо-Западном, Центральном, Белорусском и 2-м Украинском фронтах. Летал на ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7. Осенью 1943 года назначен заместителем командира эскадрильи, в январе 1944 года - командиром эскадрильи. Участник боёв за взятие Вены.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 486-го истребительного авиационного полка (279-я истребительная авиационная дивизия, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) капитан Н. А. Полеев совершил 212 боевых вылетов, в 41 воздушном бою сбил лично 8 и в составе группы ещё 8 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 9 личных и 12 групповых победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. В том числе, начальником штаба авиационного полка истребителей МиГ-19 на испытательном полигоне № 71 ВВС СССР в Крыму (возле посёлка Багерово). Основная задача полигона - авиационное обеспечение проведения воздушных ядерных испытаний и отработка технических средств доставки ядерных зарядов самолётами-носителями. С 14 февраля 1966 года подполковник Н. А. Полеев - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (25.12.1944), Александра Невского (01.06.1945), Отечественной войны 2-й степени (17.08.1943, 11.03.1985), Красной Звезды (20.04.1953); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (06.11.1947).