Родился в 1918 году в селе Аксеново (Мяксинский район Вологодской области). С 1935 года в рядах Красной Армии (призван по специальному набору). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС.

Участник Советско-Финляндской войны с 30 ноября 1939 года по 13 марта 1940 года в составе 68-го ИАП (59-я авиационная бригада, ВВС 7-й и 13-й Армий, Северо-Западный фронт). Летал на И-16. В воздушных боях сбил лично 2 самолёта противника.

С 8 января 1942 года лейтенант А. А. Платонов на фронтах Великой Отечественной войны. По ноябрь 1942 года воевал в составе 36-го ИАП (командир звена и заместитель командира эскадрильи), летал на И-16. С 11 сентября 1944 года командовал 53-м Гвардейским ИАП, где летал на "Аэрокобре".

К маю 1945 года командир 53-го Гвардейского истребительного авиационного полка (1-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии майор А. А. Платонов совершил 384 боевых вылета, провёл 47 воздушных боёв, в которых сбил лично 4 и в составе группы 10 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. 11 августа 1950 года Гвардии подполковник А. А. Платонов погиб в авиационной катастрофе.

Награждён орденами: Ленина (03.10.1942, 27.10.1942), Красного Знамени (21.04.1940, 01.07.1945), Александра Невского (29.03.1945); медалями.