Родился 20 мая 1910 года в заводском посёлке при Шайтанском горном заводе (ныне город Первоуральск Екатеринбургской области, Россия). Окончил среднюю школу. Работал молотобойцем на Первоуральском хромпикововом химическом заводе. С 1932 года в рядах Красной Армии. Окончил Пермскую школу младших авиационных специалистов (Военную авиационно-техническую школу № 3) и курсы старших авиационных техников Военно-технической школы ВВС РККА в Ленинграде (учился с января по декабрь 1934 года). Служил в должности авиационного техника, затем инженера эскадрильи. Участник гражданской войны в Испании 1936-1939 гг. в качестве авиамеханика 1-й эскадрильи истребителей И-15, которой командовал А. К. Серов. После возвращения из Испании продолжал служить в авиации. Окончил военную авиационную школу лётчиков. В начале 1941 года был назначен заместителем командира эскадрильи по политчасти 168-го ИАП (ВВС Одесского военного округа).

С 22 июня 1941 года капитан К. А. Пильщиков на фронтах Великой Отечественной войне в должности комиссара эскадрильи 168-го ИАП. Летал на И-16, ЛаГГ-3 и Як-7. Воевал на Южном и Западном фронтах. 12 июля 1941 года был подбит в воздушном бою, произвёл вынужденную посадку и через 3 дня вернулся в полк. 23 июля 1941 года был тяжело ранен в воздушном бою, но смог долететь до своего аэродрома и произвести посадку на фюзеляж. В октябре 1941 года, после излечения в госпитале, вернулся в часть. Весной 1942 года снова был сбит в воздушном бою, спасся на парашюте.

С 20 июля 1942 года по 11 июня 1943 года майор К. А. Пильщиков командовал 168-м ИАП (303-я ИАД). Затем находился в распоряжении командира 303-й ИАД и командования 1-й Воздушной армией. 3 сентября 1943 года назначен командиром 523-го ИАП (303-я истребительная авиационная дивизия, 1-я Воздушная армия, 3-й Белорусский фронт), где летал на Ла-5. Совершил 240 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 7 и в составе пары 1 самолёт противника (в последнем наградном листе говорится о 8 личных и 2 групповых победах).

24 декабря 1944 года во время разведывательного полёта подполковник К. А. Пильщиков был сбит зенитным огнём и попал в плен. 22 апреля 1945 года, находясь в лагере Вайден (неподалёку от Нюрнберга) был освобождён американскими войсками.

После окончания войны и прохождения спецпроверки, продолжал служить в ВВС. В запас вышел в звании полковника. Жил в селе Кугульта (Петровский район города Ставрополя, Краснодарский край). Умер 1 марта 1998 г.

Награждён орденами: Красного Знамени (11.11.1941, 21.01.1942, 19.02.1944), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Александра Невского (10.06.1944), Красной Звезды (27.06.1937); медалями.