Родился 8 ноября 1917 года в деревне Трасна (ныне Зарайский район Московской области). Учился в Трасненской начальной школе, затем окончил 7 классов школы в деревне Чернево Зарайского района. Работал бухгалтером в колхозе, секретарём сельсовета. С 1937 года жил и работал в городе Озеры (Московская область). Был начальником автохода в городской пожарной команде, без отрыва от производства окончил Озерский филиал Коломенского аэроклуба. С 23 марта 1940 года в рядах Красной Армии, в том же году окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков.

С сентября 1941 года младший лейтенант А. И. Пчёлкин в действующей армии. Сражался на Юго-Западном и Воронежском фронтах в составе 826-го ИАП ПВО (101-я истребительная авиационная дивизия ПВО), в должности командира звена. К июлю 1942 года выполнил 170 боевых вылетов на И-16, в воздушных боях сбил в составе группы 1 самолёт противника. В сентябре 1942 года направлен на такую же должность в 573-й ИАП, где летал на ЛаГГ-3. С ноября 1942 года сражался в 5-м Гвардейском ИАП (Юго-Западный, 3-й и 1-й Украинские фронты), летал на Ла-5 и Ла-7.

К маю 1945 года командир звена 5-го Гвардейского истребительного авиационного Краснознамённого полка (11-я Гвардейская истребительная авиационная Днепропетровская Краснознамённая ордена Богдана Хмельницкого дивизия, 2-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант А. И. Пчелкин совершил 387 боевых вылетов, в 61 воздушном бою лично сбил 12 и в группе 1 самолёт противника (в наградном листе говорится о 14 личных и 2 групповой победах). Последние боевые вылеты произвел в небе Берлина и Дрездена. Участник исторического Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

С 1947 года Гвардии капитан А. И. Пчелкин - в запасе. С 1954 года жил и работал в Москве. Умер 2 марта 1976 года. Похоронен в Москве, на Хованском Центральном кладбище.

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (05.04.1945), Отечественной войны 2-й степени (31.07.1943, 15.05.1945), Красной Звезды (30.01.1943, 24.03.1945); медалями. Почётный гражданин города Зарайск, а также города Озеры и Озерского района. На Аллее Героев в Зарайске установлен памятный знак с портретом А. И. Пчёлкина.