Родился 4 марта 1915 года в городе Петрограде (ныне Санкт-Петербург). Окончил 7 классов, работал токарем и одновременно учился в аэроклубе. С 1939 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Чугуевское военное авиационное училище, служил в нём лётчиком-инструктором.

С марта 1943 года лейтенант К. С. Назимов на фронтах Великой Отечественной войны в должности заместителя командира эскадрильи 254-го ИАП (14-я Воздушная армия, Волховский фронт), летал на Ла-5.

К августу 1944 года командир эскадрильи 254-го истребительного авиационного полка (269-я истребительная авиационная дивизия, 14-я Воздушная армия, 3-й Прибалтийский фронт) капитан К. С. Назимов совершил 240 боевых вылетов, в 27 воздушных боях лично сбил 15 и в паре 2 самолёта противника (согласно данным наградного листа). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 4519).

23 декабря 1944 года погиб в авиационной катастрофе. К тому времени выполнил около 350 боевых вылетов, провёл более 35 воздушных боёв, сбил 19 самолётов противника лично и 2 в паре. Похоронен в братской могиле на Мироносицком кладбище в городе Лебедин (Сумская область Украины).

Награждён орденами: Ленина (26.10.1944), Красного Знамени (11.05.1943, 12.09.1943), Александра Невского (07.06.1944), Отечественной войны 1-й степени (18.10.1944).