Родился 5 января 1915 года в селе Ранино (ныне Мичуринский район Тамбовской области). Окончил среднюю школу. С марта 1936 года в рядах Красной Армии. Окончил Батайскую военную авиационную школу пилотов и был оставлен в ней инструктором-лётчиком. После начала Великой Отечественной войны был направлен в 16-й ЗИАП Приволжского военного округа.

С 18 мая 1942 года сержант И. Н. Мжачих в действующей армии. Воевал в 429-м ИАП (который 11 июня 1942 года был переименован в 875-й ИАП, а 18 марта 1943 года преобразован в 66-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь от рядового пилота до командира эскадрильи. Боевую работу начал на Юго-Западном фронте (в составе 220-й ИАД, 8-й Воздушной армии), летая на Як-1. С 12 июля 1942 года воевал на Сталинградском фронте. 3 августа 1942 года полк был выведен с фронта на доукомплектование и переучивание (в 16-м ЗИАП Приволжского военного округа осваивал истребители Як-7Б). 17 сентября 1942 года прибыл в город Клин (Московский военный округ), был включён в состав вновь сформированной 274-й ИАД.

22 октября 1942 года приступил к боевой работе на Калининском фронте (в составе 274-й ИАД, 1-го ИАК Резерва СВГК, 3-й Воздушной армии), летая на Як-7Б. С 10 февраля 1943 года действовал на Северо-Западном фронте, находясь в оперативном подчинении командования 210-й ИАД (1-го ИАК, 6-й Воздушной армии). С 3 апреля 1943 года боевой работы не вёл: полк находился в Резерве СВГК (в Московском военном округе), занимался по плану учебно-боевой подготовки. С 9 мая 1943 года приступил к боевой работе на Брянском фронте (в составе 4-й Гвардейской ИАД, 1-го Гвардейского ИАК, 15-й Воздушной армии).

15 июля 1943 года старший лётчик 2-й эскадрильи Гвардии младший лейтенант И. Н. Мжачих сбил в воздушном бою 2 самолёта противника, но и сам был подбит. Самолёт загорелся, лётчик спасся на парашюте и был отправлен для лечения в госпиталь (получил ожоги 2-й степени лица, рук и ног). 6 августа 1943 года убыл из госпиталя в свою часть и вскоре продолжил боевую работу.

С 7 октября 1943 года полк находился в Резерве СВГК, проходил переформирование и осваивал истребители Як-9. 5 ноября 1943 года возобновил боевую работу на 2-м Прибалтийском фронте (в составе 15-й Воздушной армии), летая на Як-9. К тому времени Гвардии лейтенант И. Н. Мжачих был уже командиром звена С 30 ноября 1943 года действовал на 1-м Прибалтийском фронте (в составе 3-й Воздушной армии).

16 февраля 1944 года командир эскадрильи 66-го Гвардейского истребительного авиационного полка (4-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус РСВГК, 3-я Воздушная армия, 1-й Прибалтийский фронт) Гвардии лейтенант И. Н. Мжачих был сбит зенитной артиллерией противника и погиб. Всего совершил около 60 боевых вылетов, провёл около 20 воздушных боёв, сбил лично 7 и в составе группы 1 самолёт противника. Похоронен в городе Витебске (ныне административный центр Витебской области Республики Беларусь).

Награждён орденами: Красного Знамени (02.08.1943, 20.02.1944), Красной Звезды (21.02.1943).