Родился 30 июля 1919 года в селе Мураши (ныне Тулунский район Иркутской области). С 1934 года жил в городе Чите. Окончил 6 классов неполной средней школы. Работал учеником наборщика-печатника в типографии газеты "За большевистские колхозы", с 1934 года - наборщиком в типографии газеты Черновских копей, одновременно учился в вечерней школе. В 1936 году по комсомольской путёвке поступил в Читинский аэроклуб. С 16 сентября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Читинским ГВК. В 1940 году окончил Батайскую военную авиационную школу пилотов. Служил в составе ВВС Ленинградского военного округа.

С 22 июня 1941 года сержант А. А. Мурашев в действующей армии. Боевую деятельность начал в составе 155-го ИАП (6 декабря 1941 года преобразован в 3-й Гвардейский ИАП). Летал на И-16, ЛаГГ-3, Ла-5. 26 февраля 1942 года в Карелии был подбит в воздушном бою, сумел посадить повреждённый самолёт на Парубовские болота, в 30-градусный мороз добрался до своей части.

К 20 августа 1943 года командир эскадрильи 3-го Гвардейского истребительного авиационного полка (235-я истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, Воронежский фронт) Гвардии капитан А. А. Мурашев совершил 328 боевых вылетов, в 69 воздушных боях сбил лично 17 и в составе группы 8 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1242). С 15 ноября 1944 года командовал 181-м Гвардейским ИАП. Летал на Ла-5 и Ла-7.

День Победы командир 181-го Гвардейского истребительного авиационного полка (15-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 8-я Воздушная армия, 4-й Украинский фронт) Гвардии майор А. А. Мурашев встретил в Чехословакии. Всего совершил 423 боевых вылета, провёл 87 воздушных боёв, в которых сбил лично 20 и в составе группы 8 самолётов противника. Воевал на Карельском, Волховском, Ленинградском, Сталинградском, Северо-Кавказском, Воронежском, 1-м Украинском и 4-м Украинском фронтах. Трижды был ранен в воздушных боях. Участник Парада Победы на Красной площади в Москве 24 июня 1945 года.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В 1947 году окончил Высшие лётно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава (в Липецке). В 1958-1971 гг. служил заместителем начальника штаба по боевому управлению в Кольском соединении ПВО. С 8 июня 1971 года Гвардии полковник А. А. Мурашев - в запасе. До 1991 года жил в городе Североморске (Мурманская область), затем - в Днепропетровске (Украина). Работал мастером отдела технического контроля на заводе шахтной автоматики. Умер 16 июля 1999 года, похоронен на Сурско-Литовском кладбище.

3 ноября 2011 года в Североморске на доме № 13 по улице Душенова, в котором жил Герой, открыта памятная доска.

Награждён орденами: Ленина (28.09.1943, 22.02.1955), Красного Знамени (03.02.1943, 27.08.1943, 17.05.1945), Александра Невского (16.11.1944), Отечественной войны 1-й степени (21.06.1943, 11.03.1985), Красной Звезды (03.11.1953), "23 августа" 5-й степени (Румыния, 19.09.1959); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).