Родился в 1918 году в селе Юсупово (Михневский район Московской области). С 1938 года в рядах Красной Армии. Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 25 ноября 1941 года старшина Ф. И. Молчанов на фронтах Великой Отечественной войны. Воевал в составе 628-го ИАП (командир звена, заместитель командира и командир эскадрильи). Летал на И-16, Як-1 и Як-9.

К январю 1945 года командир эскадрильи 628-го истребительного авиационного полка (10-й истребительный авиационный корпус ПВО, 8-й корпус ПВО Юго-Западного фронта) капитан Ф. И. Молчанов совершил 224 боевых вылета, провёл 36 воздушных боёв, в которых сбил лично 10 и в составе группы 1 самолёт противника (1 января 1945 года полк исключён из действующей армии и боевой работой больше не занимался). Сражался на Сталинградском, Закавказском, Западном, Южном, Юго-Западном фронтах.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. В запас вышел в звании полковника.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.02.1943, 06.08.1943), Отечественной войны 1-й степени (06.08.1943); медалями.

Список известных воздушных побед Ф. И. Молчанова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
12.08.1942	1  ФВ-189	Краснодар	И-16
19.08.1942	1  Ме-110	аэродром Анапа
21.07.1943	1  Ме-109	западнее Куйбышево	Як-1
	1  Ме-109  (в гр. 1/4)	северо-западнее Дмитриевка
25.07.1943	1  Ю-88	Мариновка
28.07.1943	1  Ме-109	северо-западнее Успенское
30.07.1943	1  Ю-88	северо-западнее Мариновка
	1  Ю-87	Мариновка
	1  Ме-109	восточнее Куйбышево
01.08.1943	1  Ме-109	Степановка
02.08.1943	1  Ю-88	Ремовка
Всего сбитых самолётов - 10 + 1;  боевых вылетов - 224;  воздушных боёв - 36.

Из фотоматериалов военных лет: