Родился 14 марта 1922 года в городе Москве. Окончил среднюю школу. С 10 июня 1940 года в рядах Красной Армии, призван Московским ГВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 20 апреля 1942 года сержант А. П. Мешков в действующей армии. Воевать начал в 402-м ИАП на Северо-Западном фронте (в составе ВВС 34-й Армии; с 22 июня 1942 года - 239-й ИАД, 6-й Воздушной армии), летая на Як-1. В октябре 1942 года полк получил истребители ЛаГГ-3 и начал осваивать их во фронтовых условиях, а в начале ноября 1942 года приступил к боевой работе. 22 ноября 1942 года полк убыл в 8-й ЗИАП Приволжского военного округа для доукомплектования и переучивания на новую технику.

30 ноября 1942 года старший сержант А. П. Мешков вместе с группой лётчиков был переведён в 485-й ИАП (18 марта 1943 года преобразован а 72-й Гвардейский ИАП) той же 239-й ИАД и продолжил боевую работу на Северо-Западном фронте, летая на Як-7Б. С 15 ноября 1943 года воевал на 2-м Прибалтийском фронте (в составе 5-й Гвардейской ИАД, 15-й Воздушной армии). Во фронтовых условиях начал переучиваться на американские истребители "Аэрокобра". С 13 января 1944 года боевой работы не вёл: полк проходил переформирование и полностью перевооружался на "Аэрокобры". С 3 июня 1944 года возобновил боевую работу на 1-м Прибалтийском фронте (в составе 11-го ИАК, 3-й Воздушной армии). С 25 февраля 1945 года полк действовал в составе Земландской группы войск 3-го Белорусского фронта. Принимал участие в боях за взятие города-крепости Кёнигсберг. 5 мая 1945 года передан в 15-ю Воздушную армию Ленинградского фронта.

К 9 мая 1945 года командир звена 72-го Гвардейского истребительного авиационного полка (5-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) Гвардии старший лейтенант А. П. Мешков совершил около 200 боевых вылетов, провёл около 30 воздушных боёв, сбил лично 7 самолётов противника и 1 аэростат наблюдения в паре.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 30 сентября 1947 года Гвардии старший лейтенант А. П. Мешков - в запасе. Жил и работал в Москве. Умер 22 декабря 2002 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (19.08.1944, 30.01.1945), Отечественной войны 1-й степени (06.05.1945), Отечественной войны 2-й степени (21.07.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (16.10.1943); медалями.