Родился 18 ноября 1922 года в городе Москве. Окончил 10 классов средней школы № 325, учился летать в аэроклубе Метростороя. С 28 марта 1941 года в рядах Красной Армии, призван Красногвардейским РВК (города Москвы). В 1942 году окончил Черниговскую военную авиационную школу пилотов. Служил пилотом в 8-м ЗИАП (ВВС Приволжского военного округа).

С марта 1943 года сержант Е. П. Меншутин в действующей армии. Воевал в составе 270-го ИАП (5 февраля 1944 года преобразован в 152-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Сражался на Воронежском, Степном, 1-м Украинском и 2-м Украинском фронтах. Участвовал в боях на Курской дуге, в битве за Днепр, в Ясско-Кишинёвской операции, освобождал земли Румынии, воевал в небе Германии и Чехословакии. 30 сентября 1943 года в бою над Днепром был тяжело контужен, потерял зрение и почти полгода лечился в госпитале. Затем вернулся в полк и продолжал боевую работу. Летал на Як-1, Як-7 и Як-9.

К 9 мая 1945 года командир звена 152-го Гвардейского истребительного авиационного полка (12-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант Е. П. Меншутин совершил 281 боевой вылет, провёл 54 воздушных боя, сбил лично 13 и в составе пары 1 самолёт противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7976).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. Окончил Военно-Воздушную академию. С 28 февраля 1959 года Гвардии подполковник Е. П. Меншутин - в запасе. Жил в Москве. Работал заместителем начальника штаба МПВО одного из объектов Москвы, был внештатным инструктором райкома КПСС, членом общества "Знание". Умер 5 января 1978 года, похоронен на Химкинском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (05.09.1944, 08.03.1945), Александра Невского (04.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (17.09.1943), Красной Звезды (14.05.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (30.04.1954).