Родился 12 июня 1922 года в посёлке Ново-Мосоловский (ныне Шиловский район Рязанской области). Окончил среднюю школу. С 25 августа 1940 года в рядах Красной Армии, призван Старожиловским РВК (Рязанской области). В 1942 году окончил Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 3-ю ЗАБР (ВВС Приволжского военного округа).

С 25 мая 1943 года младший лейтенант С. Г. Мельников в действующей армии. Воевал в составе 247-го ИАП (5 февраля 1944 года преобразован в 156-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь от рядового лётчика до командира звена. Сражался на Воронежском, Степном, 2-м Украинском и 1-м Украинском фронтах. Участник боёв за взятие Берлина и освобождение Праги. Летал на Як-1, Як-7, Як-9.

К 11 мая 1945 года командир звена 156-го Гвардейского истребительного авиационного полка (12-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант С. Г. Мельников совершил 279 боевых вылетов, провёл 40 воздушных боёв и сбил лично 9 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 27 декабря 1950 года Гвардии старший лейтенант С. Г. Мельников - в запасе. Умер 24 августа 1951 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (05.09.1944, 22.10.1944), Отечественной войны 1-й степени (31.12.1943), Красной Звезды (17.08.1943, 15.05.1945); медалями.